基础数论模板题总结

一、法雷序列（莫比乌斯反演/欧拉函数前缀和）

莫比乌斯反演：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
int p[1000010],vis[1000010],mu[1000100],cnt;
 
void get()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    cnt=0;
    vis[1]=1;
    mu[1]=1;
    for(int i=2; i<=1000000; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            p[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0; j<cnt; j++)
        {
            if(p[j]*i>1000000)
            {
                break;
            }
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i*p[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    int a,b,c,d,k,n;
    get();
    scanf("%d",&n);
    a=1;
    b=1;
    b=n;
    d=n;
    k=1;
    if(b>d)
    {
        swap(b,d);
    }
    long long ans1=0;
    for(int i=1; i<=b; i++)
    {
        ans1+=(long long)mu[i]*(b/i)*(d/i);
    }
    long long ans2=0;
    for(int i=1; i<=b; i++)
    {
        ans2+=(long long)mu[i]*(b/i)*(b/i);
    }
    ans1-=ans2/2;
    printf("%lld
",ans1-1);
}

欧拉函数前缀和：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
int vis[1000010],prime[1000010],phi[1000010],t,n;
long long sum[1000010];
 
void get()
{
    for(int i=2;i<=1000000;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++t]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=t;j++)
        {
            if(prime[j]*i>1000000)
            {
                break;
            }
            vis[prime[j]*i]=1;
            phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    get();
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum[i]=sum[i-1]+phi[i]*1ll;
    }
    printf("%lld
",sum[n]);
}

二、组合数取模（线性求模数阶乘，阶乘逆元）

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
 
int mod,fac[100010],inv[100010],n,m;
 
int kasumi(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=((ans%mod)*a)%mod;
        }
        a=((a%mod)*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
 
signed main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&m,&n,&mod);
    fac[1]=1;
    int lim=min(mod-1,100000ll);
    for(int i=2;i<=lim;i++)
    {
        fac[i]=(fac[i-1]%mod)*i%mod;
    }
    inv[lim]=kasumi(fac[lim],mod-2);
    for(int i=lim-1;i>=1;i--)
    {
        inv[i]=((inv[i+1]%mod)*(i+1))%mod;
    }
    printf("%lld
",((fac[m]*inv[n])%mod*inv[m-n])%mod);
}

三、乘法逆元（扩展欧几里得）

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
long long a,c;
 
long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a%b==0)
    {
        return b;
    }
    return gcd(b,a%b);
}
 
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
}
 
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&c);
    long long x,y;
    if(gcd(a,c)!=1)
    {
        puts("-1");
        return 0;
    }
    exgcd(a,c,x,y);
    if(x<0)
    {
        while(x<0) x+=c;
    }
    printf("%lld
",x);
}

四、素数个数和（线性筛素数）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
int prime[10000010],vis[10000010],cnt,n;
 
void get(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(prime[j]*i>n)
            {
                break;
            }
            vis[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                break;
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    get(n);
    printf("%d
",cnt);
}

五、大数求欧拉函数（sqrt(n)暴力）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100000
using namespace std;
 
long long n,prime[100010],vis[100010],cnt;
 
int check(long long x)
{
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}
 
long long get_phi(long long x)
{
    long long ans=x;
    if(check(x))
    {
        ans=ans/x*(x+1);
    }
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            if(check(i))
            {
                ans=ans/i*(i-1);
            }
            if(check(x/i)&&x/i!=i)
            {
                ans=ans/(x/i)*(x/i-1);
            }
        }
    }
    return ans;
}
 
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    n==1?puts("1"):printf("%lld
",get_phi(n));
}

六、网格的走法（卡特兰数）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std;
  
long long fac[200010],inv[200010],n;
 
long long kasumi(long long a,long long b)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=ans*a%mod;
        }
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
 
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=2*n;i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    inv[2*n]=kasumi(fac[2*n],mod-2);
    for(int i=2*n-1;i>=1;i--)
    {
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
    printf("%lld
",((fac[2*n]*inv[n])%mod*inv[n+1])%mod);
}

七、又一个小球问题（第一类斯特林数）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std;
 
long long f[1010][1010],n,m;
 
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=0ll;
        f[i][i]=1ll;
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*1ll*(i-1);
            f[i][j]%=mod;
        }
    }
    printf("%lld
",f[n][m]);
}

八、叕一个小球问题（第二类斯特林数）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std;
 
long long f[1010][1010],n,m;
 
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=0ll;
        f[i][i]=1ll;
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*1ll*j;
            f[i][j]%=mod;
        }
    }
    printf("%lld
",f[n][m]);
}