钱币兑换问题

在一个国家仅有1分，2分，3分硬币，将钱N兑换成硬币有很多种兑法。请你编程序计算出共有多少种兑法。 

输入：每行只有一个正整数N，N小于32768。

输出：对应每个输入，输出兑换方法数。

Sample input:

2934

12553 

Sample output:

718831

13137761

第一种是通过递归实现：

今天刚从《妙趣横生的算法》看到整数的划分数的递归算法。

以下是归纳出来的递归函数式：

设标记P(n, m)表示正整数n的所有不同划分中，最大加数不大于m的划分个数。

               [  1　　　　　　　　　　　　　m = 1;

P(n, m) = [  P(n, n)　　　　　　　　　　n < m;

               [  1 + P(n, n-1)　　　　　　　n = m;

               [  P(n, m-1) + P(n-m, m)　　n > m > 1.

由于本题已经对m作出限制（m ≤3），所以要对上诉递归函数式作些修改

P(n, m) = 1 + P(n, n-1)　　n = m;  修改为  P(n, m) = m　　n = m;  因为m = 1，只有一种方案；m = 2， 2种；m = 3，3种。

#define MaxSize 32768

int cnt[MaxSize][4];

int partition(int n, int m)
{
	if (cnt[n][m] > 0)
	{
		return cnt[n][m];
	}
	if (1 > m || 1 > n)
	{
		return 0;
	}
	if (1 == m || 1 == n)
	{
		return 1;
	}
	if (n < m)
	{
		return partition(n, n);
	}
	if (n == m)
	{
		return m;
	}
	return cnt[n][m] = partition(n, m - 1) + partition(n - m, m);
}

int main()
{
	int num;
	while (EOF != scanf("%d", &num))
	{
		printf("%d\n", partition(num, 3));
	}
	return 0;
}

第二种通过数学方法实现：

设兑换成1分，2分，3分分别x, y, z个，等到一个等式：n = 1 * x + 2 * y + 3 * z;

那么，全是1分的只有一种；

那么，再来计算含有3分的，在一次兑换中，最多有upLimit = n / 3个3分钱币（向下取整），如n = 5，最多含1个3分，又如n = 7，则最多含2个；

那么，我们枚举3分钱币数从0个到upLimit个的情况：由于已经兑换掉i个3分钱币，所以要从总数中减去已兑换的钱，剩下的钱可以兑换2分钱币个数为((n - i * 3) / 2。

int countP(int n)
{
	int	cnt = n / 3 + 1;
	int upLimit = n / 3;
	for (int i = 0; i <= upLimit; i++)
	{
		cnt += ((n - i * 3) >> 1);
	}
	return cnt;
}

int main()
{
	int num;
	while (EOF != scanf("%d", &num))
	{
		printf("%d\n", countP(num));
	}
	return 0;
}

第三种通过母函数实现：

#define MaxSize 32768

int cnt[MaxSize];

void init()
{
	int i;
	cnt[0] = 1;
	for (i = 1; i < MaxSize; i++)
	{
		cnt[i] += cnt[i-1];
	}
	for (i = 2; i < MaxSize; i++)
	{
		cnt[i] += cnt[i-2];
	}
	for (i = 3; i < MaxSize; i++)
	{
		cnt[i] += cnt[i-3];
	}
}

int main()
{
	int num;
	init();
	while (EOF != scanf("%d", &num))
	{
		printf("%d\n", cnt[num]);
	}
	return 0;
}