质数总结

poj 2689

要对数据敏感，L和R很大，但是L-R很小。

可以在（R - L）loglogR的时间内用筛法筛出所有质数。

然后扫一遍就好了。

有些细节要注意，有些地方会爆int，0和1不能算进去。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5 + 10;
const int MAXM = 1e6 + 10;
bool is_prime[MAXM];
vector<int> prime;
ll L, R;

void get_prime()
{
	memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	REP(i, 2, MAXN)
	{
		if(is_prime[i]) prime.push_back(i);
		REP(j, 0, prime.size())
		{
			if(i * prime[j] >= MAXN) break;
			is_prime[i * prime[j]] = false;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

void work()
{
	memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
	REP(j, 0, prime.size())
	{
		int p = prime[j];
		int i = (L + p - 1) / p;
		if(i == 1) i++;
		for(ll k = (ll)i * p; k <= R; k += p)
			is_prime[k - L] = false;
	}
}

int main()
{
	get_prime();
	while(~scanf("%lld%lld", &L, &R))
	{
		work();
		int l1, r1, ans1 = 1e9, l2, r2, ans2 = 0;
		vector<int> ve;
		_for(i, 0, R - L)
			if(i + L >= 2 && is_prime[i])
				ve.push_back(i + L);
		
		if(ve.size() <= 1) puts("There are no adjacent primes.");
		else
		{
			REP(i, 1, ve.size())
			{
				int d = ve[i] - ve[i - 1];
				if(d < ans1)
				{
					ans1 = d;
					l1 = ve[i - 1];
					r1 = ve[i];
				}
				if(d > ans2)
				{
					ans2 = d;
					l2 = ve[i - 1];
					r2 = ve[i];
				}
			}
			printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.
", l1, r1, l2, r2);
		}
	}
	
	return 0;
}

bzoj 1607

用类似筛法的思想，每个数把它所有的倍数的答案都加1

可能有相同的数，所以要优化，可以预处理一下。

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 1e6 + 10;
int a[MAXN], b[MAXN];
int c[MAXN], num[MAXN], ans[MAXN], m, n;

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	REP(i, 0, n)
	{
		scanf("%d", &a[i]);
		b[i] = a[i];
	}
	
	int t = 1;
	sort(b, b + n);
	REP(i, 0, n)
	{
		if(i > 0 && b[i] == b[i - 1]) num[m-1]++;
		else num[m] = 1, c[m++] = b[i];
	}
	REP(i, 0, m) ans[c[i]] = num[i] - 1;
	
	REP(i, 0, m)
	{
		int t = c[i];
		for(int j = 2; j * t <= c[m - 1]; j++)
			ans[j * t] += num[i];
	}
	REP(i, 0, n) printf("%d
", ans[a[i]]);
	
	return 0;
}

「一本通 6.2 练习 1」质因数分解

超级大水题

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 1e5;
bool is_prime[MAXN];
vector<int> prime;
int n;

void get_prime()
{
	memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	REP(i, 2, MAXN)
	{
		if(is_prime[i]) prime.push_back(i);
		REP(j, 0, prime.size())
		{
			if(i * prime[j] >= MAXN) break;
			is_prime[i * prime[j]] = false;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

int main()
{
	get_prime();
	scanf("%d", &n);
	
	REP(j, 0, prime.size())
		if(n % prime[j] == 0)
		{
			printf("%d
", n / prime[j]);
			break;
		}
	
	return 0;
}

「一本通 6.2 练习 3」Goldbach's Conjecture

水水水

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 1e6 + 10;
bool is_prime[MAXN];
vector<int> prime;
int n;

void get_prime()
{
	memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	REP(i, 2, MAXN)
	{
		if(is_prime[i]) prime.push_back(i);
		REP(j, 0, prime.size())
		{
			if(i * prime[j] >= MAXN) break;
			is_prime[i * prime[j]] = false;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

int main()
{
	get_prime();
	while(~scanf("%d", &n) && n)
	{
		bool ok = false;
		REP(j, 1, prime.size())
			if(is_prime[n - prime[j]])
			{
				printf("%d = %d + %d
", n, prime[j], n - prime[j]);
				ok = true;
				break;
			}
		if(!ok) puts("Goldbach's conjecture is wrong.");
	}
	return 0;
}

「一本通 6.2 练习 4」Sherlock and His Girlfriend

一开始写的非常麻烦

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
bool is_prime[MAXN];
vector<int> prime;
int n, ok;

inline bool check(int k) { return 2 <= k && k <= n + 1; }

void get_prime()
{
	memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	REP(i, 2, n + 1)
	{
		if(is_prime[i]) prime.push_back(i);
		REP(j, 0, prime.size())
		{
			if(i * prime[j] > n + 1) break;
			is_prime[i * prime[j]] = false;
			if(check(i) && check(i * prime[j])) ok = 1;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	get_prime();
    if(ok) printf("2
");
	else printf("1
");
	
    _for(i, 2, n + 1)
    {
    	if(is_prime[i]) printf("1");
    	else if(ok) printf("2");
    	printf("%s", i == n + 1 ? "
" : " ");
	}
	return 0;
}

后来发现不用线性筛法代码会减少很多。并且只要n>2就输出颜色最少是2.

线性筛法的扩展性小一些，而普通筛法的扩展性大一些，可以延伸出一些东西。

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
int s[MAXN], n;

int main()
{
	scanf("%d", &n);
    if(n > 2) printf("2
");
	else printf("1
");
	
    _for(i, 2, n + 1)
	    if(!s[i])
	    	for(int j = i * 2; j <= n + 1; j += i) s[j] = 1;
	
	_for(i, 2, n + 1)
	{
		if(!s[i]) printf("1 ");
		else printf("2 ");
	}
	
	return 0;
}

bzoj 2721

这道题我想了好久还是不会。

看题解的时候感觉特牛逼。

到底是怎么想到把y！转化成n！+t的

？？？？？

因为y > n!，所以设y = n！+t

代入可以求得

x = （n！）^2  / t +n!

所以答案就是n！的因子个数。

这个转化真的很秀。

那么怎么求呢？

首先因子个数为(c1 + 1)(c2+1)……(cn+1),c为质因数的幂

那么问题转化为怎么求质因数的幂

对于n！，质因数p的幂为n！ /  p + n！ / ( p*p) +n！ /  (p*p*p)

很好理解，把p的倍数的因子都有p，然后平方有两个，所以应该加上平方的，立方有三个……

代码是这样

		ll cnt = 0;
		while(t)
		{
			cnt += t / prime[j];
			t /= prime[j];
		}

然后呢，因为是n！的平方，所以每个因子的个数要乘以2.代入得

答案为（2*cnt1 + 1） * (2 * cnt2 + 1)……

这道题就解决了。

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 1e6 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7;
bool is_prime[MAXN];
vector<int> prime;
int n;

void get_prime()
{
	memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	REP(i, 2, MAXN)
	{
		if(is_prime[i]) prime.push_back(i);
		REP(j, 0, prime.size())
		{
			if(i * prime[j] >= MAXN) break;
			is_prime[i * prime[j]] = false;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

int main()
{
	get_prime();
	scanf("%d", &n);
	
	ll ans = 1;
	REP(j, 0, prime.size())
	{
		int t = n;
		ll cnt = 0;
		while(t)
		{
			cnt += t / prime[j];
			t /= prime[j];
		}
		ans = ans * (cnt << 1 | 1) % MOD;
	}
	printf("%lld
", ans);
	
	return 0;
}