倍增算法总结 （ 含RMQ模板）

部分题目来自《算法竞赛设计进阶》

问题

      给定一个长度为n的数列A，有m个询问，每次给定一个整数T，求出最大的k，满足a[1]，a[2]……a[k]的和小于等于T（不会打sigma）

       第一反应是二分，这个时候的复杂度是logn

       还有第二种解法，用倍增的思想，复杂度为logk（所求答案）。显然倍增要好很多。我讲讲倍增。

       如果是暴力的话显然是从前往后一个一个枚举来计算。这里每次只往后移了一格，我们能不能一下子移很多格呢？

       当然可以，我们可以用倍增的思想，第一次移1格，第二次移2格……如果再移就超过答案，就把移的格数除以2。如果最后移的格数是0，那么这一格就是答案

#include<cstdio>
#include<cctype>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 100 + 10;
int a[MAXN], s[MAXN], n, m, sum;

void read(int& x)
{
    int f = 1; x = 0; char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); } 
    while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } 
    x *= f;
}

int main()
{
    read(n); read(m);
    _for(i, 1, n) read(a[i]), s[i] = s[i-1] + a[i];
    while(m--)
    {
        int T; read(T);
        int k = 0, p = 1, sum = 0; //k为当前在哪一格，p为下一步要移多少格，sum为已经走了的格的总和 
        while(p)
        {
            if(k + p <= n && sum + s[k + p] - s[k] <= T) 
            {
                sum += s[k + p] - s[k];
                k += p;
                p <<= 1;
            }
            else p >>= 1;
        }
        printf("%d
", k);
    }
    return 0;
}

hihocoder#1384

发现倍增的套路和二分有点像。出题就出来判断区间是否合法上

这里值得一提的是可以把新加进入的数组sort一遍，然后和之前已经

有序的数组做一次归并，而不用从头再来sort

//这个程序WA，目前还不知道为什么
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const int MAXN = 5e5 + 10;
int n, m, a[MAXN];
int b[MAXN], t[MAXN];
ll T;

inline void read(int& x) 
{
	int f = 1; x = 0; char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
	while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
	x *= f;
}

inline void readll(ll& x) 
{
	ll f = 1; x = 0; char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
	while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
	x *= f;
}

void merge_sort(int L, int R, int p)
{
	_for(i, R + 1, R + p) b[i] = a[i];
	sort(b + R + 1, b + R + p + 1);
	
	int i = L, pos = L, j = R + 1;
	while(i <= R || j <= R + p)
	{
		if(j > R + p || i <= R && a[i] < b[j]) t[pos++] = a[i++];
		else t[pos++] = b[j++];
	}
	_for(i, L, R + p) a[i] = t[i];
}

bool check(int L, int R, int p)
{
	merge_sort(L, R, p);
	ll res = 0;
	int l = L, r = R + p, tmp = m;
	while(tmp--)
	{
		if(l >= r) break;
		res += (a[r] - a[l]) * (a[r] - a[l]);
		if(res > T) return false;
		r--; l++;
	}
	return true;
}
 
int main()
{
	int t; read(t);
	while(t--)
	{
		read(n); read(m); readll(T);
		_for(i, 1, n) read(a[i]);
	
		int L = 1, R, ans = 0, p;
		while(L <= n)
		{
			R = L; p = 1;
			ans++;
	   		while(p)
	   		{
	   	   		if(R + p <= n && check(L, R, p)) //
	   	   		{
	   	   	   		R += p;
			   		p <<= 1;
		   		}
		   		else p >>= 1;
	   		} 
	   		L = R + 1;
		}
		printf("%d
", ans);
	}

	return 0;
}

RMQ算法模板 poj 3264（快速求区间最值，不支持修改）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++)
#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 8e4;
const int MAXM = 30;
int dmin[MAXN][MAXM], dmax[MAXN][MAXM], a[MAXN], n, q;

void RMQ_init()
{
	_for(i, 1, n) dmin[i][0] = dmax[i][0] = a[i];
	for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
		for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
		{
			dmax[i][j] = max(dmax[i][j-1], dmax[i + (1 << (j-1))][j-1]);
			dmin[i][j] = min(dmin[i][j-1], dmin[i + (1 << (j-1))][j-1]);
		}
}

int RMQ_ans(int l, int r)
{
	int k = 0;
	while((1 << (k + 1)) <= r - l + 1) k++;
	return max(dmax[l][k], dmax[r - (1 << k) + 1][k]) - min(dmin[l][k], dmin[r - (1 << k) + 1][k]);
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &q);
	_for(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);
	RMQ_init();
	while(q--)
	{
		int l, r;
		scanf("%d%d", &l, &r);
		printf("%d
", RMQ_ans(l, r));
	}
	return 0;
}