n对括号的匹配方式以及Catalan数通项公式的推导

4对括号有多少种可能的合法匹配方式？n对括号呢？

此题是卡特兰数的一个通常应用，相似的还有出栈顺序等。关于卡特兰数的具体内容，请参阅百度百科或Wiki.

http://baike.baidu.com/view/2499752.htm

 

网络上可以搜到很多相关的题目和解答，但是鲜有易懂的推导过程。这里记录一种推导过程如下：

 

结论：对于n对括号，合法的排列共有C(n,2n) - C(n+1,2n)种.
分析：
1.考虑n对括号，共有n个 ( 和n个)。
对于其全排列,可以看做是2n个空，将n个 ( 放入其中任意n个空中， 剩余的位置由 ) 填充，显然其全排列的个数为
 C(n,2n)

2.在全排列中，包含一部分非法的排列，我们从中减去非法的排列个数，即可得到合法的排列数目。问题规模被缩小。考虑所有排列中，非法排列的个数。
3.先来观察非法排列的特性，我们假设(为1，)为-1，对于任意一个非法排列a1,a2 ... an ，比存在一个k,使得
           a1+a2+a3..ak<0
   因为如果这个和小于0,说明到k位置-1出现的次数比1多，即右括号出现的次数比左括号多，即该组合是非法的。
4. 对于一个非法排列，必存在一个k,使得a1+a2+a3..ak<0，给出一个n=3时具体的排列：
           1, -1, 1, -1，-1, 1
   在k=5时，出现了非法情况。
   我们将1~5元素翻转，即1和-1置换，那么该序列就变成了
           -1, 1, -1, 1, 1, 1
   这个翻转的序列中，有n+1个1，n-1个-1

   我们再观察这个翻转后的序列，对于有n+1个1，n-1个-1的排列，共有C(n+1,2n)种。而对于这种非法的排列：
 总是存在一个最小的k,我们只需要从第1个到第k个元素翻转回去，就能变成对于有n个1，n个-1的情况下的非法排列。同样，每一个n个1，n个-1的情况下的非法排列也会对应一个n+1个1，n-1个-1的排列。
 
   例如：
        1, 1, 1, 1, -1, -1 --->从k=1翻转 -1,1,1,1,-1,-1 
        -1, 1, 1, 1, 1, -1 --->从k=2翻转 1,-1,-1,1,1,-1

（这里不是很容易理解，需要自己画图分析）

5.所以可以推得，非法排列的个数为C(n+1,2n)，
6.最终可得结论：对于n对括号，合法的排列共有C(n,2n) - C(n+1,2n)种.