BZOJ_4459_[Jsoi2013]丢番图_数学+分解质因数

BZOJ_4459_[Jsoi2013]丢番图_数学+分解质因数

Description

丢番图是亚历山大时期埃及著名的数学家。他是最早研究整数系数不定方程的数学家之一。
为了纪念他，这些方程一般被称作丢番图方程。最著名的丢番图方程之一是x^N+y^n=z^N。费马
提出，对于N>2，x,y,z没有正整数解。这被称为“费马大定理”，它的证明直到最近才被安德
鲁·怀尔斯（AndrewWiles）证明。
考虑如下的丢番图方程：
1/x+1/y=1/n(x,y,n属于N+)                      (1)
小G对下面这个问题十分感兴趣：对于一个给定的正整数n，有多少种本质不同的解满足方
程（1）？例如n=4，有三种本质不同(x≤y)的解：
1/5+1/20=1/4
1/6+1/12=1/4
1/8+1/8=1/4
显然，对于更大的n，没有意义去列举所有本质不同的解。你能否帮助小G快速地求出对于
给定n，满足方程（1）的本质不同的解的个数？

Input

一行，仅一个整数n（1<=N<=10^14)

Output

一行，输出对于给定整数n，满足方程（1）的本质不同的解的个数。

Sample Input

4

Sample Output

3

---

$frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac{1}{n}$
$xn+yn=xy$
$(x-n)*(y-n)=n^{2}$
于是转化为了求$n$的约数个数。

 

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};
ll ch(ll a,ll b,ll mod) {
    ll d=(ll)floor(1.0*a/mod*b+0.5),re=a*b-d*mod; return re<0?re+mod:re;
}
ll random(ll l,ll r) {
    return ((rand()*(1ll<<45))+(rand()<<30)+(rand()<<15)+(rand()))%(r-l+1)+l;
}
ll qp(ll x,ll y,ll mod) {
    ll re=1;
    for(;y;y>>=1ll,x=ch(x,x,mod)) if(y&1) re=ch(re,x,mod); return re;
}
ll Abs(ll x) {return x>0?x:-x;}
ll gcd(ll x,ll y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
ll yy[23333];
bool check(ll a,ll n,ll r,ll s) {
    ll x=qp(a,r,n),y=x;
    int i;
    for(i=1;i<=s;i++,y=x) {
        x=ch(x,x,n);
        if(x==1&&y!=1&&y!=n-1) return 0;
    }
    return x==1;
}
bool MR(ll n) {
    if(n<=1) return 0;
    ll r=n-1,s=0;
    int i;
    for(;!(r&1);r>>=1ll,s++);
    for(i=0;i<3;i++) {
        if(a[i]==n) return 1;
        if(!check(a[i],n,r,s)) return 0;
    }
    return 1;
}
ll PR(ll n,ll c) {
    ll x=random(0,n-1),y=x,p;
    for(p=1;p==1;) {
        x=(ch(x,x,n)+c)%n;
        y=(ch(y,y,n)+c)%n;
        y=(ch(y,y,n)+c)%n;
        p=gcd(Abs(x-y),n);
    }
    return p;
}
void solve(ll n) {
    if(n<=1) return ;
    if(MR(n)) {
        yy[++yy[0]]=n; return ;
    }
    ll tmp=n;
    while(tmp==n) tmp=PR(n,random(0,n-1));
    solve(tmp); solve(n/tmp);
}
int main() {
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    while(n%2==0) {
        yy[++yy[0]]=2; n/=2;
    }
    solve(n);
    sort(yy+1,yy+yy[0]+1);
    ll lst=-1;
    int i,now=0;
    ll ans=1;
    for(i=1;i<=yy[0];i++) {
        if(lst!=yy[i]) {
            ans=ans*(2*now+1);
            now=0; lst=yy[i];
        }
        now++;
        // printf("%lld
",yy[i]);
    }
    ans=ans*(2*now+1);
    printf("%lld
",ans+1>>1);
}