BZOJ_3672_ [Noi2014]购票_CDQ分治+斜率优化

Description

今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。

全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 f_v 以及到父亲城市道路的长度 s_v。

从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。

对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 l_v。对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 l_v 时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 p_v,q_v 作为票价参数。若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 dp_v+q_v。

每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。

Input

第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。

Output

输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。

Sample Input

7 3
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10

Sample Output

40
150
70
149
300
150

$O(n^2)$DP：f[x]=f[p]+(dep[x]-dep[p])*P[x]+Q[x] (dep[x]-dep[p]<=L[x])

如果是在序列上可以用斜率优化+二分或CDQ分治的方法解决。

但是这是一棵树。

考虑继续使用CDQ分治，假设当前solve的是x这棵子树，每次找到一个分治点p，从x中把p的子树抠掉。

先处理剩下的，然后计算x到p链上的点对p的子树的影响，然后递归p的子树。

然后这个分治点肯定要使得递归的两部分大小差不多大，需要每次求一下中心。

考虑x到p的链上的点对p的子树的影响怎么计算。

链上的点对dep升序，子树内的点按dep[x]-L[x]降序，这样决策点那边指针单调。

每次二分一下斜率就做完了。

细节还是有一些的，不过重要的还是怎么想到这种分治做法的。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 200050
typedef double f2;
int head[N],to[N],nxt[N],fa[N],n,cnt,mx[N],tot,root,siz[N],S[N],top,vis[N];
ll val[N],dep[N],P[N],Q[N],L[N],f[N];
int a[N],b[N],la,lb;
inline void add(int u,int v,ll w) {
    to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt; val[cnt]=w;
}
bool cmp1(const int &x,const int &y) {
    return dep[x]-L[x]>dep[y]-L[y];
}
f2 K(int i,int j) {
    return (f2(f[i]-f[j]))/(dep[i]-dep[j]);
}
void dfs(int x) {
    int i; siz[x]=1;
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) {
        dep[to[i]]=dep[x]+val[i];
        dfs(to[i]);
        siz[x]+=siz[to[i]];
    }
}
void get_root(int x) {
    int i;
    siz[x]=1; mx[x]=0;
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]) {
        get_root(to[i]);
        siz[x]+=siz[to[i]];
        mx[x]=max(mx[x],siz[to[i]]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],tot-siz[x]);
    if(mx[root]>mx[x]) root=x;
}
void diu1(int x,int y) {
    int p;
    for(p=x;p!=fa[y];p=fa[p]) a[++la]=p;
}
void diu2(int x) {
    int i; b[++lb]=x;
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]) {
        diu2(to[i]);
    }
}
void solve(int x) {
    tot=siz[x]; root=0; get_root(x); int rt=root; vis[rt]=1;
    //printf("%d %d
",x,rt);
    if(x!=rt) siz[x]-=siz[rt],solve(x);
    la=lb=0;
    int i,j;
    diu1(rt,x);
    for(i=head[rt];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]) {
        diu2(to[i]);
    }//printf("%d %d
",la,lb);
    for(i=2;i<=la;i++) if(dep[rt]-dep[a[i]]<=L[rt]) f[rt]=min(f[rt],f[a[i]]+(dep[rt]-dep[a[i]])*P[rt]+Q[rt]);
     
    sort(b+1,b+lb+1,cmp1);
     
    top=0,S[0]=0;
    for(j=1,i=1;i<=lb;i++) {
        int u=b[i];
        while(j<=la&&dep[u]-dep[a[j]]<=L[u]) {
            while(top>1&&K(S[top],a[j])>K(S[top-1],S[top])) top--;
            S[++top]=a[j++];
        }
        if(!top) continue;
        if(top==1) f[u]=min(f[u],f[S[1]]+(dep[u]-dep[S[1]])*P[u]+Q[u]);
        else {
            int l=1,r=top;
            while(l<r) {
                int mid=(l+r)>>1;
                if(P[u]>K(S[mid],S[mid+1])) r=mid;
                else l=mid+1;
            }
            f[u]=min(f[u],f[S[l]]+(dep[u]-dep[S[l]])*P[u]+Q[u]);
        }
    }
 
    for(i=head[rt];i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]) {
        solve(to[i]);
    }
}
int main() {
    mx[0]=1<<30;
    scanf("%d%*d",&n);
    int i;
    ll x;
    for(i=2;i<=n;i++) {
        scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&fa[i],&x,&P[i],&Q[i],&L[i]); add(fa[i],i,x);
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[1]=0;
    dfs(1);
    solve(1);
    for(i=2;i<=n;i++) printf("%lld
",f[i]);
}