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  • Tarjan算法--求无向图的割点和桥

    一.基本概念

        1.桥:是存在于无向图中的这样的一条边,如果去掉这一条边,那么整张无向图会分为两部分,这样的一条边称为桥无向连通图中,如果删除某边后,图变成不连通,则称该边为桥。

        2.割点:无向连通图中,如果删除某点后,图变成不连通,则称该点为割点。

    二:tarjan算法在求桥和割点中的应用

        1.割点:1)当前节点为树根的时候,条件是“要有多余一棵子树”(如果只有一颗子树,去掉这个点也没有影响,如果有两颗子树,去掉这点,两颗子树就不连通了。)

                  2)当前节点U不是树根的时候,条件是“low[v]>=dfn[u]”,也就是在u之后遍历的点,能够向上翻,最多到u,如果能翻到u的上方,那就有环了,去掉u之后,图仍然连通。

                                                       保证v向上最多翻到u才可以

        2.桥:若是一条无向边(u,v)是桥,

                1)当且仅当无向边(u,v)是树枝边的时候,需要满足dfn(u)<low(v),也就是v向上翻不到u及其以上的点,那么u--v之间一定能够有1条或者多条边不能删去,因为他们之间有一部分无环,是桥。

                如果v能上翻到u那么u--v就是一个环,删除其中一条路径后,能然是连通的。

        3.注意点:

                1)求桥的时候:因为边是无方向的,所以父亲孩子节点的关系需要自己规定一下,

                                    在tarjan的过程中if(v不是u的父节点) low[u]=min(low[u],dfn[v]);

                                   因为如果v是u的父亲,那么这条无向边就被误认为是环了。

                2)找桥的时候:注意看看有没有重边,有重边的边一定不是桥,也要避免误判。

        4.也可以先进行tarjan(),求出每一个点的dfn和low,并记录dfs过程中的每个点的父节点,遍历所有点的low,dfn来寻找桥和割点

     三:求桥和割点的模板:

     1 #include<iostream>
     2 #include<cstring>
     3 #include<cstdio>
     4 #include<vector>
     5 using namespace std;
     6 #define N 205
     7 vector<int>G[N];
     8 int n,m,visx,fa[N],low[N],dfn[N];
     9 bool is_cut[N];
    10 void Tarjan(int u,int from){
    11     low[u]=dfn[u]=++visx;
    12     fa[u]=from;
    13     for(int i=0;i<G[u].size();i++){
    14         int k=G[u][i];
    15         if(dfn[k]==-1){
    16             Tarjan(k,u);
    17             low[u]=min(low[u],low[k]);
    18         }
    19         else if(from!=k)
    20           low[u]=min(low[u],dfn[k]);
    21     }
    22 }
    23 void count(){
    24     int rootson=0;
    25     Tarjan(1,0);
    26     for(int i=2;i<=n;i++){
    27         int v=fa[i];
    28         if(v==1) rootson++;
    29         else{
    30             if(low[i]>=dfn[v])//判断割点 
    31               is_cut[v]=true;
    32         }
    33     }
    34     if(rootson>1) is_cut[1]=true;
    35     for(int i=1;i<=n;i++)
    36       if(is_cut[i])printf("%d
    ",i);
    37     for(int i=1;i<=n;i++){
    38         int v=fa[i];
    39         if(v>0&&low[i]>dfn[v])
    40           printf("%d,%d
    ",v,i);
    41     }
    42 }
    43 int main()
    44 {
    45     scanf("%d%d",&n,&m);
    46     memset(fa,0,sizeof(fa));
    47     memset(low,-1,sizeof(low));
    48     memset(dfn,-1,sizeof(dfn));
    49     memset(is_cut,false,sizeof(is_cut));
    50     for(int x,y,i=1;i<=m;i++){
    51         scanf("%d%d",&x,&y);
    52         G[x].pushback(y);
    53         G[y].pushback(x);
    54     }
    55     count();
    56     return 0;
    57 }
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