python 算法 day5

动态规划

动态规划是用来求最优解问题的解决策略之一

一个最典型例子 ：用最少的硬币找零

比如：一美元购买37美分商品，用来找零的硬币最小数量是多少（一般有1,5,10和25美分的硬币）

首先我们使用最大面值的硬币（25美分），也是尽可能多的使用，接着再使用下一个面值最大的这种方法被称为贪心算法

但如果有21美元时，贪心算法依然会首先选择25美分的，答案也仍然没有变化，而最优解是三个21美分的硬币

我们可以根据递归，首先根据一美分去找，如果价值不匹配，我们就再加上一美分减去1美分找零总数的最小的整数值

一个低效的方法

def reticon(coinValueList , change):
    mincoin = change
    if change in coinValueList:
        return 1
    else:
        for i in [c for c in coinValueList if c<=change]:
            print(i)
            numcoin = 1 + reticon(coinValueList,change-i)
            if numcoin < mincoin:
                mincoin = numcoin
    return mincoin


print(reticon([1,5,10,25],63))

图中每一个点对应一个retcion调用，主要问题我们做了大量重复性计算 列如：15美分的找零最优解至少三次1、5、10，每一次计算都需要调用52次函数

减少工作量的关键在于记住一些出现过的结果，这样就能避免重复计算我们已经知道的结果

一个简单的解决方法：

我们将所找到的给硬币找零的最小数目储存在一个表中，然后计算最小值之前，可以先查看表中结果是否已知，如果有了，就可以直接调用，而不是重复计算。

def reticon(coinValueList , change,knowresult):
    mincoin = change
    if change in coinValueList:
        knowresult[change]=1
        print(type(knowresult))
        return 1
    elif knowresult[change]>0:
        return knowresult[change]
    else:
        for i in [c for c in coinValueList if c<=change]:

            numcoin = 1 + reticon(coinValueList,change-i,knowresult)
            if numcoin < mincoin:
                mincoin = numcoin
                knowresult[change] = mincoin
    return mincoin


print(reticon([1,5,10,25],63,[0]*64)）　　

上述算法只是使用一种叫做“函数值缓存”来改善性能，真正的动态规划会采用更系统的方法去解决问题，把已经知道的最好的路径存起来，下次遇到可以直接用。动态规划的解决方法是从为第一分找零开始的最优解逐步加上去的，直到我们需要的找零数，这就保证了算法在每一步过程中，我们已经知道了兑换更小数值零钱所需硬币数量的最小值。

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1
1	2
1	2	3
1	2	3	4
1	2	3	4	1

1

2

3

4

1

2

3

4

5

1

一个新的算法

def dpMake(coinValueList,change,minCoins):
    for cents in range(change+1):
        coinCount = cents
        for j in [c for c in coinValueList if c<=cents]:
            if minCoins[cents-j] + 1 <coinCount:
                coinCount = minCoins[cents-j] + 1
        minCoins[cents] = coinCount
    return minCoins[change]

dpmake有三个参数：一个有效面值的列表  我们想要兑换的硬币数值   一个包含所有部分找零最优解的列表

当程序运行时 mincoins会包含从0到所需兑换数值中每一个数值对应的最优解。