分割问题汇总

(1) 直线分平面
题目描述：
在平面上画n条直线，请问最多可以把平面分为多少个区域。
题目分析：
假设当有n-1条直线时，平面最多被分成了f(n-1)个区域。则第n条直线要想切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线段。而每条射线和线断将已有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)=n个区域。
故：
f(n)=f(n-1)+n
        =f(n-2)+(n-1)+n
        ……
        =f(1)+1+2+……+n
        =n(n+1)/2+1

(2) 折线分平面(hdu2050)
题目描述：
在平面上画n条折线，请问最多可以把平面分为多少个区域。
题目分析：
根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。假设当n-1条折线时，区域数为f(n-1)，为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*(n-1)条线段相交。那么新增的线段数为4*(n-1)，射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。
故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1
        =f(n-1)+4(n-1)+1
        =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2
        ……
        =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)
        =2n^2-n+1

(3) 封闭曲线分平面问题
题目描述：
设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
题目分析：
当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，则第n个圆被分为2(n-1)段线段，增加了2(n-1)个区域。
故： f(n)=f(n-1)+2(n-1)
        =f(1)+2+4+……+2(n-1)
        =n^2-n+2

(4)平面分割空间问题(hdu1290)
题目描述：
在空间上画n个平面，请问最多可以把空间分为多少个区域。
题目分析：
由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？当有n-1个平面时，分割的空间数为f(n-1)。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。(g(n)为(1)中的直线分平面的个数)此平面将原有的空间一分为二，则最多增加g(n-1)个空间。
另外，我们设g(n)=n(n+1)/2+1，
故：f(n)=f(n-1)+g(n-1)
        =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)
        ……
        =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)
        =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)
        =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1
        =(n^3+5n)/6+1