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N-position:后手必败，先手必胜。
P-postion:先手必败，后手必胜。
更严谨的定义是：1.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；2.N-position可以移动到P-position的局面。；3.P-postion所有移动都导致N-position的局面。
Nim博弈：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。
对于一个Nim游戏的局面(a1, a2, ..., an)，它是P-position当且仅当a1 xor a2 xor... xor an=0
简要证明：
显然（0, 0, ..., 0）为必败态。（1）
可归纳证明
A）对于P-position局面(a1, a2, ..., an)满足a1 xor a2 xor... xor an=0，对于所有合法的移动，
不妨设为新局面(a1-x, a2, ..., an)，则
(a1-x) xor a2 xor ... xor an
=(a1-x) xor a2 xor ... xor an xor a1 xor a1
=(a1-x) xor a1!=0（其中a1>x）。
故满足结论（3）
B）对于N-position局面满足a1 xor a2 xor... xor an=k！=0，则存在一个移动使得新局面(a1', a2', ..., an')有a1' xor a2' xor... xor an'=0。因为{ak}中存在ai的二进制在k的最高位上为1，否则k的最高位不能得到，将ai变为ai xor k（<ai），有 a1 xor a2 xor ... xor an xor ai xor k = 0。
故满足结论（2）
故若Nim游戏局面满足博弈的两个结论，故存在必胜/必败态及必胜态的必胜步骤。
至此，Nim游戏得到基本解决。
参考：https://www.cnblogs.com/exponent/articles/2141477.html