动态规划 最长子序列

 有关概念：

　　最长上升子序列（LIS，Longest Increasing Subsequence），在一个序列中最长的单调递增的子序列

例子：

输入：

2 1 5 3 6 4 8 9 7

输出：

5

（1）第一种解法：

　　f_i表示以第i个数结尾的LIS长度

　　对于序列中的一个数i，在i前面枚举数j，j满足比i小且f_j最大，将i作为j的后继

　　伪代码&状态转移方程：

　　f₁=1

　　for i=2...n

　　　　for j=1...i-1

　　　　　　if(a_j<a_i)f_i=max(f_i,f_j+1)

　　最后结果在f₁~f_n中取最大值

　　当然，可以在更新f_i的时候顺便记录j的位置，在最后可以输出整个LIS

private static int sequence(int[] array, int n) {
		if (n == 0) {
			return 0;
		}
		int[] maxLen = new int[n];
		// 初始化数组元素值
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			maxLen[i] = 1;
		}
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < i; j++) {
				if (array[j] < array[i]) {
					// 解最大值，有多条路径
					maxLen[i] = Math.max(maxLen[i], maxLen[j] + 1);
				}
			}
		}
		// 数组升序
		Arrays.sort(maxLen);
		// 数组最大值
		return maxLen[n - 1];
	}

　　

　时间复杂度为o(n^2);

第二种：详情见该博文；http://www.cnblogs.com/ziyi--caolu/p/3227121.html；