额，最近看到了一个十分有趣的定理——Sperner定理。其实这个定理在OI中没什么用处，因此我都没把这篇文章放到我的OI标签里(不知道在MO中是否有用？)但是觉得它很有趣于是就过来写一下。
由于博主太弱不会用LaTeX写取整符号，本文中用([x])表示(x)下取整。
问题: 有一个(n)元集合(S_n)，从中选出若干个子集，满足没有任何两个子集之间存在包含关系，问最多能选出多少个？
首先结论是很好猜的。如果把所有(k)元子集全部选出，那么显然不会包含，一共能选(nchoose k)个子集。显然这个数在([frac{n}{2}])时取到最大值，我也构造不出来什么更优的选法，我猜答案就是(nchoose [frac{n}{2}]) ！
正确答案就是(nchoose [frac{n}{2}]). 但这个结论的精彩之处在于它的证明:
证明: 对于选出的每一个子集(S)，我们定义它的生成排列(好吧这个名字是我自己瞎起的)为一些(1)到(n)的排列，这个排列应当满足前(|S|)个元素构成的集合为(S), 后(n-|S|)个元素构成的集合为(S_n-S). 不难发现一个集合(S)的生成排列有(|S|!(n-|S|)!)个。
例如: (n=5),集合({1,3,4})的生成排列有以下(12)个:
1 3 4 2 5
1 3 4 5 2
1 4 3 2 5
1 4 3 5 2
3 1 4 2 5
3 1 4 5 2
3 4 1 2 5
3 4 1 5 2
4 1 3 2 5
4 1 3 5 2
4 3 1 2 5
4 3 1 5 2
然后我们考虑题目中子集互不包含的限制，在这里转化成了，从任何两个子集的各任取一个生成排列，这两个生成排列不相等。也就是所有的子集的生成排列是没有重复的。因为如果某个排列(p)同时是两个不相等的子集(A,B)的生成排列，若(|A|=|B|)则有(A)和(B)都是排列(p)的同一前缀构成的集合，(A,B)相等，矛盾；否则不妨设(|A|<|B|), 则(A)集合内元素的一个排列是(B)内元素的一个排列的前缀，显然有(Ain B)。同样地，我们可以证明如果(A)包含(B), 则一定存在排列(p)满足(p)同时是(A)和(B)的生成排列。
因此，原题条件等价于，选出尽量多的集合，使得所有集合的生成排列没有重复。而设选出了(m)个集合，第(i)个集合的大小是(S_i), 因为所有生成排列没有重复，所有生成排列的个数不超过(n!), 也就是$$sum^m_{i} |S_i|!(n-|S_i|)!le n!$$把(n!)除过去$$sum^m_{i=1} frac{1}{nchoose S_i}le 1$$根据简单的二项式系数性质可得(mle {nchoose [frac{n}{2}]})
（非常抱歉我把如此简单的东西讲复杂了QAQ）
不过以上过程虽然很容易理解，但是确实很难想啊……据说数学界研究了十几年才得到这个证明QAQ
另外还听说这个定理可以推广到可重集。