题目链接
(BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5330
(Luogu) https://www.luogu.org/problem/P4607
题解
首先观察一些性质。
一个回文串可以轮换产生多少个本质不同的串？周期那么多个。
可是有一种特殊情况，就是对于长度为偶数的回文串(a=ss^Rss^Rss^R...ss^R) ((s^R)表示(s)的reverse), 如果轮换位数恰好等于周期的一半，那么会产生(a'=s^Rss^Rss^Rs...s^Rs), 这是另一个回文串，因此会算重！
于是我们大胆猜测，设(a)的周期为(T), 则当(T)为偶数时对答案的贡献为(frac{T}{2}), 否则为(T).
一个简单的证明是，串(a)轮换(d)位和轮换(T-d)位所得到的串互为reverse，若得到了回文串，那么(d=T-d).
那么现在我们的问题简化了: 设长度为(n)字符集为(m)周期为(T)的回文串有(g(T))个，要求的就是(sum_{d|n}g(d)h(d)), 其中(h(d))为贡献。
现在考虑怎么算周期为(T)的回文串: 设(G(T))表示有多少个回文串满足(T)是它的周期(但不是最小周期，即周期是(T)的因数)，则(G(T)=m^{lceil frac{T}{2}
ceil}).
且有(G(T)=sum_{d|T}g(d)), 由莫比乌斯反演可得(g(T)=sum_{d|T}mu(frac{T}{d})G(d)).
然后直接枚举因数裸求就可以得到54至60分(当然也可以(g(T)=G(T)-sum_{d|T}g(d)), 但是这样由于复杂度较劣只有30至36分，期望得分是官方题解里给的)
当(nle 10^{18})时，(n)的约数个数(d(n)le 103680).
推式子: (sum_{d|n}sum_{d'|d}G(d')mu(frac{d}{d'})h(d)=sum_{d|n}sum_{d'|frac{n}{d}}G(d)mu(d')h(dd'))
观察式子，当(d)为奇数(frac{n}{d})为偶数时，每一个奇数都会和一个偶数配成一对，并且(mu)值相反。因此这种情况对答案贡献为(0).
在其他情况下，一定满足(h(dd')=h(d)d'), 即(sum_{d|n}G(d)h(d)sum_{d'|frac{n}{d}}d'mu(d'))
考虑(sum_{d|n}dmu(d))的组合意义，易得原式等于(sum_{d|n}G(d)h(d)prod_{p|frac{n}{d}}(1-p)), 其中(p)为质数
DFS所有的质因数即可。
时间复杂度(O(n^{frac{1}{4}}log n+d(n)log n)), 其中(d(n))为(n)的约数个数.
代码
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define llong long long
#define pll pair<llong,llong>
#define mkpr make_pair
using namespace std;
const int N = 103680;
vector<pll> pfac;
llong P;
llong quickmul(llong x,llong y,llong mod=P)
{
return (x%mod)*(y%mod)%mod;
}
llong quickpow(llong x,llong y,llong mod=P)
{
llong cur = x,ret = 1ll;
for(int i=0; y; i++)
{
if(y&(1ll<<i)) {ret = quickmul(ret,cur,mod)%mod; y-=(1ll<<i);}
cur = quickmul(cur,cur,mod);
}
return ret;
}
namespace Pollard_Rho
{
const int N = 15;
const int LGM = 64;
llong fc[LGM+2];
llong a[N+2];
llong m;
int n;
llong ans;
llong quickmul(llong x,llong y,llong mod=P)
{
llong tmp=(x*y-(llong)((long double)x/mod*y+1.0e-8)*mod)%mod;
return tmp<0 ? tmp+mod : tmp;
}
llong quickpow(llong x,llong y,llong mod=P)
{
llong cur = x,ret = 1ll;
for(int i=0; y; i++)
{
if(y&(1ll<<i)) {ret = quickmul(ret,cur,mod)%mod; y-=(1ll<<i);}
cur = quickmul(cur,cur,mod);
}
return ret;
}
llong gcd(llong x,llong y) {return y==0 ? x : gcd(y,x%y);}
llong absl(llong x) {return x>=0 ? x : -x;}
llong ssrand(llong x,llong c,llong y) {return (quickmul(x,x,y)+c)%y;}
bool Miller_Rabin(llong x)
{
if(x==1) return false;
if(x==2) return true;
if((x&1)==0) return false;
llong y = x-1,t = 0ll;
while((y&1)==0) y>>=1,t++;
for(int i=1; i<=5; i++)
{
llong bas = rand()%(x-1)+1;
llong cur = quickpow(bas,y,x);
for(int j=1; j<=t; j++)
{
llong tmp = quickmul(cur,cur,x);
if(tmp==1 && cur!=1 && cur!=x-1) return false;
cur = tmp;
}
if(cur!=1) return false;
}
return true;
}
llong pollard_rho(llong x,llong c)
{
llong i = 1,k = 2;
llong y = rand()%(x-1)+1; llong t = y;
while(true)
{
i++;
y = ssrand(y,c,x);
llong d = gcd(absl(t-y),x);
if(d>1 && d<x) return d;
if(t==y) return x;
if(i==k)
{
t = y;
k<<=1;
}
}
}
void factorize(llong x,llong c)
{
if(x==1) return;
if(Miller_Rabin(x))
{
n++; fc[n] = x;
return;
}
llong p = x,k = c;
while(p>=x) p = pollard_rho(p,c--);
factorize(p,k); factorize(x/p,k);
}
void Factorize(llong _m)
{
m = _m;
n = 0;
factorize(m,120);
sort(fc+1,fc+n+1);
pfac.clear();
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(fc[i]==fc[i-1]) {pfac[pfac.size()-1].second++;}
else {pfac.push_back(mkpr(fc[i],1));}
}
}
}
llong n,m;
llong ans;
void dfs(int pos,llong x,llong coe)
{
if(pos==pfac.size())
{
if((x&1ll) && (!((n/x)&1ll))) {return;}
llong tmp = quickmul(coe,quickmul(quickpow(m,(x+1)>>1),(x&1)?x:(x>>1)));
ans = (ans+tmp)%P;
return;
}
for(int i=0; i<=pfac[pos].second; i++)
{
dfs(pos+1,x,i==pfac[pos].second?coe:quickmul(coe,(P+1-pfac[pos].first%P)));
x = x*pfac[pos].first;
}
}
int main()
{
srand(time(NULL));
int T; scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&P);
Pollard_Rho::Factorize(n);
// for(int i=0; i<pfac.size(); i++) printf("(%lld,%lld) ",pfac[i].first,pfac[i].second); puts("");
ans = 0ll;
dfs(0,1ll,1ll);
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}