AtCoder AGC043C Giant Graph (图论、SG函数、FWT)

题目链接

https://atcoder.jp/contests/agc043/tasks/agc043_c

题解

场上感觉没啥思路就放弃了，场下想了十几分钟发现是水题，血亏。。。（只能怪自己计数水平太屑做不出 D）
首先显然是按 ((i+j+k)) 从大到小贪心，考虑图只有一维的情况，我们给无向边定向，从标号小的点连向标号大的点，设 (u) 点的出点集合为 (adj[u]), (f[u]) 表示 (u) 点是否能选，则 (f[u]= eg lor_{vin adj[u]} f[v]).
仔细观察这个式子，能想到什么？SG 函数！这个 (f[u]) 还有另外一层意义：在图上的 (u) 点有一枚棋子，先后手轮流操作，每次将棋子沿一条出边移动出去，不能移动的输，则 (f[u]) 为 (1) 代表该点先手必败，为 (0) 代表该点先手必胜。
于是对于三维（甚至更高维）的情况做法也清楚了：多维就相当于多个游戏的叠加，于是使用 SG 函数解决，答案等于 (sum_{sg[u_1]oplus sg[u_2]oplus sg[u_3]=0} (10^{18})^{u_1+u_2+u_3}), 也即对三个序列进行异或卷积，最后的答案就是所得序列中 (0) 处的值。
时间复杂度 (O(nlog n)).

UPDATE: 这题其实不需要 FWT，直接暴力就行了，因为 SG 函数值的上界是 (O(sqrt m)) 级别，直接暴力复杂度 (O(n+m)).

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define llong long long
#define mkpr make_pair
#define riterator reverse_iterator
#define y1 Lorem_ipsum_dolor
using namespace std;

inline int read()
{
	int x = 0,f = 1; char ch = getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) {if(ch=='-') f = -1;}
	for(; isdigit(ch);ch=getchar()) {x = x*10+ch-48;}
	return x*f;
}

const int mxN = 1<<17;
const int P = 998244353;
const llong Inv2 = 499122177ll;
const llong W = 716070898ll;
int sg[mxN+3];
llong pwW[mxN+3];
llong f[3][mxN+3],g[mxN+3];
vector<int> adj[mxN+3]; vector<int> vec;
int n,m,dgr;

int get_mex()
{
	int ret = 0; sort(vec.begin(),vec.end());
	for(int i=0; i<vec.size(); i++)
	{
		if(vec[i]==ret) {ret++;}
		else if(vec[i]>ret) {break;}
	}
	vec.clear(); return ret;
}

void fwt(int dgr,int coe,llong poly[],llong ret[])
{
	for(int i=0; i<(1<<dgr); i++) ret[i] = poly[i];
	for(int i=1; i<(1<<dgr); i<<=1)
	{
		for(int j=0; j<(1<<dgr); j+=(i<<1))
		{
			for(int k=0; k<i; k++)
			{
				llong x = ret[j+k],y = ret[j+i+k];
				ret[j+k] = (x+y)%P,ret[j+i+k] = (x-y+P)%P;
				if(coe==-1) {ret[j+k] = ret[j+k]*Inv2%P,ret[j+i+k] = ret[j+i+k]*Inv2%P;}
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n); while((1<<dgr)<=n) dgr++;
	pwW[0] = 1ll; for(int i=1; i<=n; i++) pwW[i] = pwW[i-1]*W%P;
	for(int T=0; T<3; T++)
	{
		scanf("%d",&m);
		for(int i=1; i<=m; i++)
		{
			int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
			if(u>v) {swap(u,v);} adj[u].push_back(v);
		}
		for(int i=n; i>=1; i--)
		{
			for(int o=0; o<adj[i].size(); o++)
			{
				vec.push_back(sg[adj[i][o]]);
			}
			sg[i] = get_mex();
//			printf("sg[%d]=%d
",i,sg[i]);
			f[T][sg[i]] = (f[T][sg[i]]+pwW[i])%P;
		}
		for(int i=1; i<=n; i++) adj[i].clear(),sg[i] = 0;
		fwt(dgr,1,f[T],f[T]);
	}
	for(int i=0; i<(1<<dgr); i++) {g[i] = f[0][i]*f[1][i]%P*f[2][i]%P;}
	fwt(dgr,-1,g,g);
	printf("%lld
",g[0]);
	return 0;
}