题意：求满足a^x=b(mod n)的最小的整数x。
分析：很多地方写到n是素数的时候可以用Baby step,Giant step, 其实研究过Baby step,Giant step算法以后，你会发现 它能解决 “n与a互质”的情况，而并不是单纯的n是素数的情况。如果a与n不是互质的，那么我们需要处理一下原方程，让a与n互质，然后再用Baby step,Giant step解出x即可。
Baby step,Giant step算法思想：对于a与n互质，那么则有a^phi(n)=1(mod n), 对于n是素数phi(n) == n-1, 否则phi(n) < n-1, 所以x的取值只要在0----n-2之中取就可以了。
当n很小时，可以直接枚举，但当n很大时，肯定会超时，Baby step,Giant step就是用了一种O(sqrt(n)*log(n))的方法枚举了所有的0-----n-2。令m = sqrt(n);
我们可以预处理出a^0,a^1,.........a^m,都放入哈希表中, 然后 (a^m)^i+v(哈希表里的其中一个值)就一定是解，每次枚举i(0-----m-1),计算出v,判断v是否出现在哈希表中，如果有就是解。 对于m为什么取sqrt(n)是为了复杂度的平衡，这一点是跟分块算法很相似的。
对于a与n不互质的情况分析：令 t = gcd(a,n)，那么a与n都约去t，当然b也要约去t(不能约去就无解)，约去一个t以后方程就变为 aa*a^(x-1) = bb(mod nn), (其中 aa = a/t bb = b/t nn = n/t) , 这里nn还可能与a不互质，那么我们一直拿出一个新的a对(a, bb, nn)约去t，直到a与nnn....(nnn...表示约去若干次t以后的n)互质。以下用(用三个字母表示约去若干次后,如bbb) 则结果为aa^c*a^(x-c) = bbb(mod nnn), 我们让等式左右分别乘以aa^c关于nnn的逆元 变为a^(x-c) = w (mod nnn) , w =bbb *(aa^c)^(-1)。 a^x = w (mod n)可以用bbb *(aa^c)^(-1)Baby step,Giant step直接求出，如果有解那把未知数+c。
具体看代码中的cal函数。
注意：在以上过程中x有可能<c，所以我们必须每约去一个t就要特判一下当前情况aa 与 bb就说明当前c是解。
哈希表实现看题目时间要求，map太慢，自己手写hash是很快的。
map哈希
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
void ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if (!b) {
x = 1;
y = 0;
} else {
ex_gcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
}
}
inline ll inv(ll a, ll n) {
ll x, y;
ex_gcd(a, n, x, y);
return (x + n) % n;
}
ll log_mod(ll a, ll b, ll n) {
ll m, e;
int i;
m = sqrt(n + 0.5);
map<ll, ll> f;
f[1] = 0;
e = 1;
for (i = 1; i < m; i++) {
e = e * a % n;
if (!f.count(e))
f[e] = i;
}
e = e * a % n;
e = inv(e, n);
for (i = 0; i < m; i++) {
if (f.count(b))
return i * m + f[b];
b = b * e % n;
}
return -1;
}
ll gcd(ll a, ll b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
ll cal(ll a, ll b, ll n) {
ll t, c = 0, v = 1;
while ((t = gcd(a, n)) != 1) {
if (b % t)
return -1;
n /= t;
v = v * a / t % n;
b /= t;
c++;
if (b == v)
return c;
}
//printf("a = %I64d b = %I64d c = %I64d v = %I64d
", a, b, c, v);
b *= inv(v, n);
b %= n;
ll ret = log_mod(a, b, n);
return ~ret ? ret + c : ret;
}
int a, b, n;
int main() {
while (~scanf("%d%d%d", &a, &n, &b)) {
if (b >= n) {
printf("Orz,I can’t find D!
");
continue;
}
if (b == 0) {
printf("0
");
continue;
}
ll ans = cal(a, b, n);
if (ans == -1)
printf("Orz,I can’t find D!
");
else
printf("%I64d
", ans);
}
return 0;
}
手写hash
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100007;
struct hash {
int n;
struct Edge {
int p, v;
int next;
}edge[maxn*7];
int head[maxn+10], E;
void init(int n) {
this->n = n;
memset(head, -1, sizeof(int)*(n+1));
}
void add(int p, int v) {
int s = p%n;
edge[E].p = p;
edge[E].v = v;
edge[E].next = head[s];
head[s] = E++;
}
int get(int p) {
int s = p%n;
for(int i = head[s]; ~i; i = edge[i].next) {
if(edge[i].p == p) return edge[i].v;
}
return -1;
}
}f;
void ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if (!b) {
x = 1;
y = 0;
} else {
ex_gcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
}
}
inline ll inv(ll a, ll n) {
ll x, y;
ex_gcd(a, n, x, y);
if(x < 0) x += n;
return x;
}
ll log_mod(ll a, ll b, ll n) {
ll m, e;
int i;
m = sqrt(n + 0.5);
f.init(10007);
f.add(1, 0);
e = 1;
for (i = 1; i < m; i++) {
e = e * a % n;
if (f.get(e) == -1) f.add(e, i);
}
e = e * a % n;
e = inv(e, n);
for (i = 0; i < m; i++) {
int t = f.get(b);
if (~t)
return i * m + t;
b = b * e % n;
}
return -1;
}
ll gcd(ll a, ll b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
ll cal(ll a, ll b, ll n) { //扩展函数
ll t, c = 0, v = 1;
while ((t = gcd(a, n)) != 1) {
if (b % t)
return -1;
n /= t;
b /= t;
v = v * a / t % n;
c++;
if (b == v) return c;
}
b = b*inv(v, n)%n;
ll ret = log_mod(a, b, n);
return ~ret ? ret + c : ret;
}
int a, b, n;
int main() {
while (~scanf("%d%d%d", &a, &n, &b)) {
if (b >= n) {
printf("Orz,I can’t find D!
");
continue;
}
if (b == 0) {
printf("0
");
continue;
}
ll ans = cal(a, b, n);
if (ans == -1)
printf("Orz,I can’t find D!
");
else
printf("%I64d
", ans);
}
return 0;
}