Python圈中的符号计算库-Sympy（转载）

《本文来自公众号“大邓带你玩python”，转载》

import math

math.sqrt(8)

2.8284271247461903

我们看看Python中结果

math.sqrt(8).math.sqrt(8)

8.000000000000002

本以为会得到8.0,但没想到得到8.000000000000002。

一、为什么会这样？

如果我们平常计算的任务常常有类似于上面的例子这样的表达式，那么直接用python计算其结果只是真实值的逼近。如果这样的计算很大很多，误差会逐渐积累，这是我们不能忍受的，所以这时候就需要Python能处理这种数学符号计算。

二、什么是数学符号计算？

数学符号计算能处理表征数字的符号计算。这意味着数学对象被精确地表示，而不是近似地表示，而具有未被计算的变量的数学表达式被留在符号形式中。

sympy库简介

Sympy是Python的一个数学符号计算库。它目的在于成为一个富有特色的计算机代数系统。它保证自身的代码尽可能的简单，且易于理解，容易扩展。Sympy完全由Python写成，不需要额外的库。

sympy的表达式与我们平常的手写的数学表达式略微有所区别，下面是sympy的方程表示符号

• 加号  +
• 减号  -
• 除号  /
• 乘号  *
• 等号  Eq()
• 指数  **
• 对数  log()
• e的指数次幂  exp()

上面的例子我们用Python实现一下。

import sympy

sympy.sqrt(8)

2*sqrt(2)

用sympy计算

sympy.sqrt(8)*sympy.sqrt(8)

8

三、简单学一下sympy中的几个实例

• 定义数学符号（类似于数学中的变量）
• 展开与折叠
• 简化表达式
• 解方程
• 赋值计算
• log计算
• 导数
• 积分
• 求极限

3.1  定义数学符号

让我们定义一个符号表达式代表数学表达式 x+2yx+2y。首先我们要注意到python中的变量必须赋值才能使用，所以无法表达该数学表达式。所以这里一定要引入特殊的符号，这里有两种方法

• 方法一

from sympy import symbols

x,y = symbols('x y')
expr = x + 2*y

expr
x + 2*y

• 方法二

from sympy.abc import x,y

expr2 = x + 2*y

expr2
x + 2*y

**当数学表达式中的变量不是x，y这种单一字符，而是result这种多个字符长度的变量时，只能用方法一。

3.2 展开与折叠

from sympy import expand,factor
from sympy.abc import x,y

expr = x**2+x*y+3*x

expr
x**2 + x*y + 3*x

• 折叠

factor(expr)

x**2 + x*y + 3*x

• 展开

expr2 = x*(x+y+3)
expand(expr2)
x**2 + x*y + 3*x

3.3 简化表达式

有时候我们需要简化表达式

•  普通的化简

from sympy import simplify
from sympy.abc import x

simplify((x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1))
x - 1

• 三角化简trigsimp

from sympy import trigsimp,sin,cos
from sympy.abc import x,y
y = sin(x)/cos(x)

trigsimp(y)
tan(x)

• 指数化简

from sympy import powsimp
from sympy.abc import x,a,b
y = x**a * x**b

y
x**a*x**b

#指数化简
powsimp(y)
x**(a + b)

3.4 解方程

注意在python中=是赋值的意思，==虽然表示等于，但是会有很大的问题。在sympy中，我们使用Eq(x,y)表示x=y

from sympy.abc import x,y
from sympy import solve,linsolve,Eq

#对一个方程求解，使用solve
solve(Eq(2*x-1,3), x)
[2]

使用linsolve([方程1，方程2，...],(变量1，变量2，...))

#对多个方程求解，使用linsolve。方程的解为x=-1，y=3
linsolve([x+2*y-5,2*x+y-1], (x,y))

{(-1, 3)}

3.5 赋值计算

from sympy.abc import x,y
from sympy import sin,cos
y = sin(x)+cos(x)

y
sin(x) + cos(x)

y.subs(x, x**2)
sin(x**2) + cos(x**2)

这里的赋值，不仅可以实现变量的替换，还可以赋与数字，进行计算。

y.subs(x, 0)
1

3.6 log运算

from sympy import log,expand_log
from sympy.abc import x,y,e

#expand_log为展开log，但需要将force=True，展开才能发生
expand_log(log(x**3), force=True)
3*log(x)

#expand_log为展开log，但需要将force=True，展开才能发生
expand_log(log(x**3))
log(x**3)

expand_log(log(e**x), force=True)
x*log(e)

3.7 导数

from sympy import diff,sin,cos
from sympy.abc import x,y,z,f

#对sin(x)求导
diff(sin(x))
cos(x)

diff(cos(x))
-sin(x)

偏导

#求偏导
f = 3*x**2*y*z

diff(f, x,y)
6*x*z

3.8 积分

from sympy.abc import pi,x
from sympy import integrate,sin

integrate(sin(x), (x,0,pi))
-cos(pi) + 1

3.9 极限

from sympy.abc import x
from sympy import limit

limit(1/x, x, 0, '+')
oo

3.10 展开式

高数中有泰勒展开式，拉格朗日展开式。

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...+x^n/n!+o(x^n) 

比如当n=3时，

e^x=1+x+x^2/2+o(x^3)

这里实现的方法是：sympy表达式.series(变量, 0, n)

from sympy import exp,symbols

x = symbols('x')
expr = exp(x)

expr.series(x, 0, 3)
1 + x + x**2/2 + O(x**3)