[題解] luogu p1220 關路燈

區間dp

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：m）、功率（W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入输出格式

输入格式：

文件第一行是两个数字n(1<=n<=50，表示路灯的总数)和c(1<＝c<=n老张所处位置的路灯号)；

接下来n行，每行两个数据，表示第1盏到第n盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式：

一个数据，即最少的功耗(单位：J，1J＝1W·s)。

输入输出样例

输入样例#1：

5 3
2 10
3 20
5 20
6 30
8 10

输出样例#1：

270  

说明

输出解释：

{此时关灯顺序为3 4 2 1 5，不必输出这个关灯顺序}

---

看題解仍然看不懂，結果在dalao解釋后才看懂轉移方程：

用 f [ i ] [ j ] [ 0/1 ]表示從 i 號路燈到 j 號路燈，人在區間 左/右 端點時的最小花費。

f [ i ] [ j ] [ 0 ]有兩種轉移方式：從i+1的左端點往左走一個關 i 號路燈，或者從 i+1,j 的右端點走到左端來關 i 路燈。

同理 f [ i ] [ j ] [ 1 ]也就類似的知道了。

用前綴和來計算 i 到 j 區間以外的花費，乘上距離就是這段轉移用的花費。

枚舉區間長度和左端點即可，然而並不知道為什麼不用枚舉斷開的點，可能是因為狀態轉移不需要兩個區間合併吧。

這狀態轉移方程到底是怎麼想出來的啊......代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,c;
struct node{
    int w,p;
}t[55];
int f[55][55][2];
int sum[55];//前綴和 
//int cal(int i,int j,int l,int r)//i,j路燈編號,l,r區間左右 
//{
//    return (t[j].p-t[i].p)*(sum[n]-(sum[r]-sum[l-1]));//除去這個區間 
//}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&t[i].p,&t[i].w);
        sum[i]=sum[i-1]+t[i].w;
    }
    //初始化
　　memset(f,127,sizeof(f));
    f[c][c][0]=f[c][c][1]=0;
    for(int k=2;k<=n;k++)//枚舉區間長度
    for(int i=1;i<=n-(k-1);i++){//枚舉左端點 
        int j=i+k-1;
        f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(t[i+1].p-t[i].p)*(sum[n]-(sum[j]-sum[i])),//從i+1的左端點往左走一個關i路燈 
                                                                              //sum[j]-sum[i]是因為過程中i並沒有被關 
                    f[i+1][j][1]+(t[j].p-t[i].p)*(sum[n]-(sum[j]-sum[i])));//或者從i+1,j的右端點走到左端來關i路燈 
        f[i][j][1]=min(f[i][j-1][1]+(t[j].p-t[j-1].p)*(sum[n]-(sum[j-1]-sum[i-1])),//這裡j沒被關而且i還要-1 
                    f[i][j-1][0]+(t[j].p-t[i].p)*(sum[n]-(sum[j-1]-sum[i-1])) );
    }
    printf("%d",min(f[1][n][1],f[1][n][0]));
}

還是不太會做區間dp啊

 2019-03-08 19:00:02

又出現了一個新問題，這樣枚舉所有區間最後得到的最小答案一定是從 c 出發的嗎？

我認為是這樣的：我們是從小到大枚舉的區間長度和起始位置，每一個小區間都是由更小的區間推出來的，

而最小的區間也就是1長度的區間是由我們手動賦初值的，也就是區間長度為1的時候在c點最優，

這樣就保證了每一個由c點推出來的區間都是最優解這樣就保證了最後1~n的區間也是最優的。