青蛙的约会
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Description
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
Source
分析:青蛙相遇的地方,距离原点的相对位置相同。
青蛙A: x+tm
青蛙B:y+tn
A%L=B%L
所以(A-B)%L=0;
即:
(x+tm)-(y+tn)=cl
=>(m-n)t-cl=-(x-y)=> (n-m)t-c*l=(x-y)·········2
我们可以通过扩展欧几里得算法求得:
(n-m)t-l*c=gcd((n-m),l)·······1对应的解 t=gcd_x,c=gcd_y;
如果(x-y)%gcd((n-m),l)=0,则 把1式 等式两边同时*(x-y)/gcd((n-m),l),可以得到2式,
所以t=t*gcd((n-m),l),因为可能是负值,进行一次周期变化,即可得到答案。
如果(x-y)%gcd((n-m),l)!=0,则原式子无解。
#include<iostream> #include<stdio.h> using namespace std; long long ext_gcd(long long a, long long b, long long *x, long long *y) { if(b==0) { *x = 1,*y = 0; return a; } else { long long r = ext_gcd(b, a%b, x, y); long long t = *x; *x = *y; *y = t - a/b * *y; return r; } } int main() { long long x,y,m,n,l; while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)) { long long gcd_x,gcd_y; long long gcd = ext_gcd(n-m,l,&gcd_x,&gcd_y); if((x-y)%gcd) { printf("Impossible "); continue; } long long ans= gcd_x*(x-y)/gcd; ans=(ans%(l/gcd)+(l/gcd))%(l/gcd); // cout<<(l/gcd)<<endl; printf("%I64d ",ans); } return 0; }