- 给出(n)个数，用最少的(2^k)或(-2^{k})，使得能拼出所有数，输出方案。(n,|a_i|leq 10^5)。
显然一个绝对值最多选一次。这个性质非常强。
如果所有都是偶数，可以直接除以(2)。
否则(1)或(-1)必须选，暴力枚举选哪个然后递归，每层去重，发现最多只会递归(log a)次。总复杂度(O((n+a)log n))，等价于线段树上区间长度总和。
- (n)个数，每次可以花费(1)的代价给某个数(+1)或(-1)，问变成不上升序列的最少代价。(nleq 5 imes 10^5)。
等价于不下降序列。
设(f(x))表示最后一个数(leq x)时的最优答案。显然它形如若干段斜率为整数的折线，且斜率是连续不降的。
最右边加入(a)时，每个位置加上(|x-a|)，并对(f(x-1))取(min)。
只需要维护拐点，每次加入两个拐点，并删去最大的一个。
最后用(f(0)=sum|a_i|)还原答案。
- 考虑所有的正整数可重集({a_1,…,a_k})，满足(sum a_i=n)，求所有(sum a_i^m)的和。(n,m,kleq 4096)。
设(f_{i,j})表示前(i)个数，和为(j)的方案数。每次转移要么放一个(1)在末尾，要么所有数均(+1)。
暴力dp可以维护每个数的([0,m])次和，转移的时候乘上组合数。复杂度(O(n^4))。
一点优化是维护每个数的下降幂（似乎组合数也可以），最后用第二类斯特林数还原答案，这样单次转移是(O(1))的，复杂度(O(n^3))。
考虑每个数产生的贡献有多少次。发现就是(sum_j[i)出现至少(j)次的方案数(])。
这个可以用(f_{i,j})算，不需要dp的时候统计答案。复杂度(O(n^2))。
- 给出(A_1)到(A_n)，设(F_k=sum_{i=1}^na_i^k)，求(F_1,…,F_n)。(n,kleq 2 imes 10^5,a_ileq 10^9)。
牛顿恒等式：对于首一多项式(F(x)=sum_{i=0}^nC_{n-i}x^i)，设(P_i)为它的(n)个根的(i)次方和，对于任意正整数(d)，有等式
由(C)求(P):多项式求逆；由(P)求(C):多项式(exp)。
本题硬点(a_i)是某多项式的(n)个根，分治fft求出多项式，求逆即可。复杂度(O(nlog^2n))。
- (n)个点，(m)条带权无向边，权值(in [0,17))，问有多少种方案选择一些边（不选重边），使得整张图联通，且边权和(equiv x(mod p))。对(xin [0,17))都要求答案。(nleq 17,mleq 10^5)。
显然是个循环卷积，先DFT，用点值计算完再IDFT回去即可。
考虑容斥，用总数减去不连通的方案数。枚举(1)所在的连通块容斥，复杂度(O(3^np))。
(O(2^nn^2p))的做法有点麻烦，需要高超的生成函数技巧，掉线了。
- 给出(n)个数(a_i)和(m)，求最小的(k)，使得存在一个长度(geq m)的区间，使得区间内任意一个数，都能找到另一个区间内的数和它差不超过(k)。(n,mleq 10^5)。
二分答案，对每个数求出左右最近的满足条件的位置，设为(L_i,R_i)。
问题转化为判定是否存在([l,r]geq m)，使得区间内的任意元素满足(L_igeq l)或(R_ileq r)。
设(solve(l,r))表示([l,r])内是否存在满足条件的子区间。
如果(r-l+1<m)，显然不行。
如果某个点(L_i<l)且(R_i>r)，这个点就不能选，递归处理(solve(l,i-1)|solve(i+1,r))。
暴力从左往右扫是(O(n^2))的，考虑两边往中间扫，找到就return，这样是(T(n)=T(i)+T(n-i)+O(min(i,n-i)))的，总复杂度(O(nlog^2n))。
- (n)种物品，每种物品重量(w_i)，价值(v_i)，有无限多个。(q)次询问，每次问在所有重量恰好为(m)的方案中，价值最大的是多少，拼出这个价值的方案数是多少。顺序不同的算作不同的方案。(n,w_i,qleq 100,m,v_ileq 10^9)。
由于方案数不需要考虑顺序，可以直接dp，(f_i=max(f_{i-w_j}+w_j))，同时更新方案数即可。
发现(w_i)不超过(100)，即每次只有最近的(100)个状态有用。用(max)定义加法，用加法定义乘法，发现是矩乘的变体。
直接做(O(n^4log m))。考虑预处理出转移矩阵的(2^k)次方，每次用向量乘(O(log m))个矩阵，总复杂度(O(n^3log m))。
- 给出(A,N,p)，对于所有(u)，求从(1)到(lfloorfrac{A}{2^u} floor)中选出(n)个数，(1leq n leq N)，且(n)是奇数，且选出的最大数是奇数，求方案数&求和。对(p)取模。(Aleq 10^9,Nleq 30000, p=O( 10^5),Time=5000ms)。
枚举最大数之后，变成了求一些(n)很大，(m)不大的组合数。
组合数可以分治：(C(n,m)=sum_{i=0}^mC(x,i)cdot C(n-x,n-i))，其中(x)可以是任意([1,n])的数。
在这里就是把(A)分成两半，递归处理然后fft合并。
由于每次都是除以(2)下取整，所以一遍就可以算出所有(u)的答案。复杂度(O(nlog nlog A))。
- 给出(S[0…5],)每个数都是“前”/“中”/“后”。有一棵二叉树，定义(dfs(x,mode))，其中(mode)表示是哪种方式。但是递归左右儿子的时候，会变成(dfs(l,s[2 imes mode]),dfs(r,s[2 imes mode+1]))。给出两种遍历结果，求一种可能的第三种遍历结果。(nleq 100)。
设(f_{x,y,a,b,i})为第一个序列([x,x+i])，方式为(a)，第二个序列([y,y+i])，方式为(b)是否合法。
如果两个方式相等，直接判串是否完全相等。
如果其中一个是中序遍历，可以递归处理。
否则需要枚举左右儿子分界线。
看似(O(n^4))，实际上，确定了第一个序列的区间，第二个序列最多一个对应区间是合法的（点集完全相同）。所以总复杂度(O(n^3))。
- (n)个点(m)条边的无向图。(q)次操作，每次交换两条边的编号，回答按编号从小到大加边，加到联通时编号为多少。(n,qleq 10^5)。
设(work(l,r))表示处理([l,r])的修改，并回答每次修改完的答案。
把修改涉及的边设为(inf)，跑最小生成树，此时不在其中的边（未修改的）已经没用了，直接删掉。此时边数为(O()点数())。
把修改涉及的边设为(-inf)，跑最小生成树，此时在其中的边一定有用，直接缩点。此时点数为(O(r-l))。
递归两边处理，每次要对边排序。复杂度(O(nlog^2n))。
- (n)个点，(m)条边的无向简单图，每个点度数不超过(7)，给点四染色，要求每个点最多一个邻居和它相同。输出方案或者无解。(nleq 25000,mleq 10^5)。
随一个初始解，然后调整。
找一个不满足条件的点，把它换成一个可行的颜色。由于度数不超过(7)，所以一定可行。
用队列模拟这个过程，每次调整后，两端颜色相同的边都会减少，所以一定会结束。复杂度(O(m))。