- 经典问题，给一张图，支持加边/删边/询问两点连通性。
离线统计边权（删除时间），lct维护最大生成树即可。
也可以按时间分治，维护一个可回退并查集即可。
- 主定理
很好用，但是记不住。
有一种简明的替代方式：画一棵递归树，考虑层数和每层的节点数（线段树分析.jpg）
- 分治时递归和处理中心的顺序可以是任意的，可以按照具体情况选择，以 简化复杂度。
- 快速排序的期望复杂度：
对于期望复杂度经典的证明方法，乘上(n)再错位相减。
- 定理：期望为(O(f(n)))的复杂度退化到(O(g(n)))的概率小于(frac{f(n)}{g(n)})，而且这个上界非常宽松，大多数时候都达不到。
- (O(n))找第(k)大
考虑快速排序的过程，按某个中间值分成两半，然后找对的一边递归下去。期望(O(n))，然而最劣是(O(n^2))。
发现最劣的情况在于每次都划分出一个大小为(1)的子问题。
可以把原序列分成(5)份，排成一个(5 imes frac n5)的表格。对每一列找出中位数，然后找到列的中位数，从这个位置划分，可以保证每次问题规模最少降低(O(frac{3}{10}n))。
然而没什么用，因为常数巨大。
给我们的启发意义在于，我们可以通过一些（大）合（常）理（数）手段划分分治中心，从而降低复杂度。
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分治fft
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三维偏序：cdq分治
- (n)个红点，(n)个黑点，没有重复或三点共线。求一个红黑点的完美匹配，使得连线互不相交，保证有解。(n leq 10^4)。
sd省集讲过，然而我又忘了。
提示：对于任意这样的(2n)个点，解一定存在。
证明：只需要找到总长度最小的一种方案，一定不会有交点。
一定可以找到一条直线把点集分开，使得两边红黑点个数均相等。考虑坐标最小的某个点为原点，把剩余点按照极角排序，由于不存在三点共线，则一定有这样的位置，恰好使两边相等。
最劣是(O(n^2log n))，但是每次旋转一个角度，随机选点跑得很快，(O()能过())。
- 给(n)个整数(a_i)，求(min_{i<j}{ (j-i)^2+(sum_{k=i+1}^j a_k)^2 })。(nleq 10^5)。
把(a_i)取个前缀和(S_i)，发现把((i,S_i))看作一个点，就是一个平面上距离。平面最近点对即可。我一开始想分治+斜率优化来着。
- 给定一棵树，问有多少个大小为(k)的点集，使得存在节点(u)，使得任意一个(vin S)，有(dis(u,v)leq L)。(nleq 10^5)。
对于一个点集(S)，满足条件的点构成一个连通块。树上连通块点数-边数=1，所以对于每个点、每条边分别统计满足条件的点集容斥一下即可。
统计点集相当于对每个点（或边建出来的虚点）统计距离不超过(L)的点数，然后算个组合数就好了。邻域是经典问题，点分树就好了。
- 以(1)为根的二叉树，对它任意一个包含(1)的连通块，给连通块内每个点赋一个权值(w_i)，块外的点权值为(0)，每个点的权值满足(w_igeq sum w_{son_i},w_1=x)，求所有连通块的所有(w_i)的方案的和。(nleq 10^5,xleq 10^{18})。
令(b_i=w_i-sum w_{son_i})，则原条件等价于(b_igeq 0,sum b_i=x)。设连通块大小为(m)，则它的权值就是(C(x+m-1,m))。
于是问题变成统计以(1)为根，大小为(min[1,n])的连通块个数。
这个若干天前讲过，求生成函数，树剖后分治fft即可。所以二叉树这个性质有什么用
“动态点分治模板题，大家一定都做过，不用讲了。”
点分树支持动态添加叶子，需要像替罪羊树一样重构。
- 有向图(G)，支持动态加边，求每次加边后((u,v))数，使得((u,v))互相可达，允许离线。(n,qleq 10^5)。
等价于对每条边((u,v))，统计((u,v))是什么时候开始相互可达的，然后用并查集计算即可。
整体二分。设(solve(l,r,S))表示(S)里所有边都是在([l,r])时间段开始相互可达的。（在执行这个函数之前，且所有加入时间在([1,l))的，且在(S)内的边均已加入并缩点完毕，孤立点被删除。）
我们把(S)中([l,mid])的边都加入然后缩点，即可据此把(S)分为两部分，递归即可。右边可以直接递归，左边需要对缩点可回退化一下。代码很不可写。只对涉及到的点进行计算，单次递归复杂度是(O(|S|))的，每条边只会被计算(O(log))次。
- 给定一个(w imes h)的网格，每次允许向右、上、下走，都有对应的权值，求左边一列每个点到右边一列每个点的最短路长度和。(w imes hleq 2 imes 10^5)。
维护从左上角出发的最短路径树。
发现起点向下移动的时候，每个点在树上的父亲是逆时针单调旋转的，且最多变(2)次。
对于一个时间区间([l,r])，如果一个点没有变父亲，它们是可以缩起来的。然后就和上一题一模一样了。
- 离线求逆元
类似阶乘逆元的求法，求前缀积然后反向递推回去即可。复杂度(O(n+log p))。
- 树上并查集
树上分块+四毛子，块大小(O(loglog n))，可以做到线性。
- 离线LCA
Tarjan+并查集实现。