具体数学 第一章 递归问题

1.河内塔问题

• 数学归纳法：①对最小规模时成立；②设对(n=[1,k])时成立，证明对于(n=k+1)时也成立。于是问题对任意规模都成立。

它可以与递归的模型天然地结合在一起。

实际问题->递归式->数学归纳法->通项公式

• 通过处理递归式的某些项会使得数学归纳更加简单。

2.平面上的直线

• 展开递归式是求通项公式的好方法。

• 对于不易直接分析的实例，可以讨论“损失”了多少。

3.JOJO问题

• 对于一个递归式，把它的部分常量替换为未知数，希望求出它的通项公式中每个未知数的系数。

此时可以把每个未知数取一些特殊值，代入递归式中。

更加通用的方法是找一些简单的函数，令它满足递归式，借此列出方程，解出未知数的值。通过这种方式寻找未知数系数之间的联系，从而列出关于未知数系数的方程。

注意到有多少独立的未知数，我们就需要列出多少组方程。

同时，解除递归式中一些既定的限制（进制等），可以将递归式推广到更为一般的情况。

4.热身题

1. 问题出在“类似的”，数学归纳法只能假设([1,k])内的马是相同颜色，如果要推广到([2,k+1])的情况，则需要证明(k+1)号马与前面颜色均相同。

2. 发现对规模为(k)的问题，流程如下：①将([1,k-1])移动到(B)柱；②将(k)移动到中间柱；③将[1,k-1]移动到(A)柱；④将(k)移动到(B)柱；⑤将([1,k-1])移动到(B)柱。

设(T_n)为将规模为(n)的问题解决所需的最小步数，由此获得递归式：

[T_1=2 ]

[T_n=6T_{n-1}+2,ngeq 2 ]

设(G_n=T_n+frac{2}{5})，则(G_1=frac{12}{5},G_n=6(T_{n-1}+frac{2}{5})=6G_{n-1}=frac{2}{5}6^n)。

即(T_n=frac{2}{5}(6^n-1))。

证明：(T_n)一定是整数，即(5|(6^n-1))。

对于(n=1)的情况，显然成立。

假设对于([1,n-1])均成立。(6^n-1=6 imes6^{n-1}-1=(6-1) imes 6^{n-1}+6^ {n-1}-1)，由于对于(n-1)时成立，此处也成立。

3. 显然(A,B)柱上会有此类正确摆放，只需考虑中间柱。发现在③过程时，(n)必然在中间柱，而([1,n-1])从(B)到(A)，必然整体经过中间柱。

4. 设(T_n)为原规则下的最小步数，(G_n)是将(n)个始末位置不确定的圆盘排好的最小步数。问题转化为对于任意始末位置，证明(G_nleq T_n)。

对于(n=1)的情况，若始末位置在同一根石柱，则(G_1=0<T_1)，否则(G_1=T-1)，结论成立。

假设对于([1,n-1])均成立。对于第(n)个圆盘，设始位置为(x)，末位置为(y)，中间位置为(z)。若(x=y)，则(G_n=G_{n-1}leq T_{n-1}<T_n)。否则，需要执行如下操作：①([1,n-1])移动到(z)，设此操作花费(G_{n-1,0})；②将(n)移动到(y)；③将([1,n-1])移动到对应末位置，设此操作花费(G_{n-1,1})。此时(G_n=G_{n-1,0}+G_{n-1,1}+1leq 2T_{n-1}+1=T_n)。

由数学归纳法得证。