CF906D Power Tower

扩展欧拉定理

CF906D Power Tower

洛谷交的第二个黑题

题意

给出一个序列(w-1,w_2,cdots,w_n)，以及(q)个询问
每个询问给出(l,r)，求：

[w_l^{w_{l+1}^{w_{l+2}^{cdots^{w_r}}}}mod p ]

(w_ile 10^9,ple 10^9,nle 10^5,qle 10^5)

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相似题：P4139 上帝与集合的正确用法
都是用欧拉函数，如果你不知道扩展欧拉定理是啥，看这里
和那题一样，递归的处理指数，和(p)取模，然后每递归一层，就让(pleftarrow varphi(p))
然后这样一层层递归下去，直到(p=1)或者(l=r)

对于任意一个偶数(p)，总有(varphi(p)le dfrac{p}{2})，因为在小于等于它的数中，一定会有(dfrac{p}{2})个数是二的倍数，不和他互质
然后又因为对于(p>2)，总有(varphi(p))为偶数，原因是当(gcd(d,p)=1,gcd(p-d,p)=1)（这个可以由反证法很容易的得出）

所以，对于任意一个(p)，先经过一次给他变成(varphi(p))，然后只要(log)次就可以把它变成(1)，所以递归最多(O(log p))层

但是要开一个map来记录已经算出的(varphi)，否则(O(qlog psqrt p))跑不出来

还有一个问题，就是扩展欧拉定理的应用条件是(bge varphi(p))，(b)是指数
所以要判断一下(b)和(varphi(p))的大小关系，然而那个上帝与集合的题不用这样，因为那个是无限个(2)在指数上，显然(b>varphi(p))
但是，我们在下一层递归中返回的，已经是对(varphi(p))取模以后(b)的值了，不是真实值，无法比较
如果同时记录真实值和取模后的值又比较麻烦，所以考虑每次取模，都是如果大于等于模数，就让他取模后再加上模数，如果小于模数当然就不管

结束递归回溯的时候也要取模

( exttt{code.})

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<map>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline LL read(){
	register LL x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
int w[100006];
std::map<LL,LL>map;
inline LL get_phi(LL n){
	if(map.find(n)!=map.end()) return map[n];
	LL ret=n;
	for(reg LL i=2;i*i<=n;i++){
		if(!(n%i)) ret=ret/i*(i-1);
		while(!(n%i)) n/=i;
	}
	if(n>1) ret=ret/n*(n-1);
	map[n]=ret;
	return ret;
}
inline LL mo(LL x,LL mod){
	return x<mod?x:(x%mod+mod);
}
inline LL power(LL a,LL b,LL mod){
	LL ret=1;
	while(b){
		if(b&1) ret=mo(ret*a,mod);
		a=mo(a*a,mod);b>>=1;
	}
	return ret;
}
LL work(int l,int r,LL p){
	if(l==r||p==1) return mo(w[l],p);
	return power(w[l],work(l+1,r,get_phi(p)),p);
}
int main(){
	LL n=read(),p=read(); 
	for(reg int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
	int q=read();while(q--){
		int l=read(),r=read();
		std::printf("%lld
",work(l,r,p)%p);
	}
	return 0;
}