bzoj4173 数学

bzoj4173 数学
欧拉(varphi)函数，变形还是很巧妙的

求：

[varphi(n)cdotvarphi(m)cdotsum_{nmod k+mmod kge k}varphi(k)mod 998244353,n,mle 10^{15} ]

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首先，对(sum)下面那一坨进行变形
很容易知道，(nmod k+mmod k=n-lfloordfrac{n}{k} floorcdot k+m-lfloordfrac{m}{k} floorcdot k<2k)
那么对不等式同时除以(k)，就是(1le dfrac{n+m}{k}-lfloordfrac{n}{k} floor-lfloordfrac{m}{k} floor<2)
然后把那个(frac{n+m}{k})来个下取整，这个式子就变成了(1)，也就是：

[lfloorfrac{n+m}{k} floor-lfloorfrac{n}{k} floor-lfloorfrac{m}{k} floor=1 ]

所以只看那个(sum)就是：

[sum_{lfloorfrac{n+m}{k} floor-lfloorfrac{n}{k} floor-lfloorfrac{m}{k} floor=1}varphi(k) ]

然后又由于(lfloordfrac{n+m}{k} floor-lfloordfrac{n}{k} floor-lfloordfrac{m}{k} floor=1)只有(0,1)两个值，是(1)符合要求是(0)不符合，所以可以把上式继续拆：

[sum_{k=1}^{n+m}varphi(k)cdot（lfloorfrac{n+m}{k} floor-lfloorfrac{n}{k} floor-lfloorfrac{m}{k} floor） ]

[sum_{k=1}^{n+m}varphi(k)lfloorfrac{n+m}{k} floor-sum_{k=1}^nvarphi(k)lfloorfrac{n}{k} floor-sum_{k=1}^mvarphi(k)lfloorfrac{m}{k} floor ]

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下面考虑如何求(sum_{i=1}^nvarphi(i)lfloordfrac{n}{i} floor)就行了

想要推这个，先证明一个结论：(n=sum_{dmid n}varphi(d))
列举出如下分数：
(dfrac{1}{n},dfrac{2}{n},cdots,dfrac{n}{n})
然后把他们化简
当且仅当(dmid n,gcd(a,d)=1)，分数(frac{a}{d})出现在其中
那么，以(d)为分母的分数有(varphi(d))个，(d)可以取遍(n)的所有因数
又因为这些分数的个数是(n)，所以(n=sum_{dmid n}varphi(d))

那么把(sum)里面那一些，理解为(lfloorfrac{n}{i} floor)个(varphi(i))相加
而从(1)到(n)中，有(lfloorfrac{n}{i} floor)个数是(i)的倍数，所以我们枚举这(n)个数：

[sum_{i=1}^nvarphi(i)lfloordfrac{n}{i} floor=sum_{j=1}^nsum_{imid j}varphi(i) ]

然后用刚才说的结论，变形为：

[sum_{j=1}^n j ]

所以答案就清晰了：

[varphi(n)cdotvarphi(m)cdotsum_{nmod k+mmod kge k}varphi(k)=varphi(n)cdotvarphi(m)cdot(sum_{i=1}^{n+m}i-sum_{i=1}^n i-sum_{i=1}^m i)=varphi(n)cdotvarphi(m)cdot ncdot m ]

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最后由于数很大一定要频繁取模

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline LL read(){
	register LL x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
#define mod 998244353
inline LL phi(LL x){
	reg LL ret=x;
	int sqrt=std::ceil(std::sqrt(x));
	for(reg int i=2;i<=sqrt;i++){
		if(!(x%i)) ret=ret/i*(i-1);
		while(!(x%i)) x/=i;
	}
	if(x>1) ret=ret/x*(x-1);
	return ret;
}
int main(){
	LL n=read(),m=read();
	std::printf("%lld",phi(n)%mod*(phi(m)%mod)%mod*(n%mod)%mod*(m%mod)%mod);
	return 0;
}