FWT 笔记

用来解决在下标中进行位运算的卷积
具体形式就是求

[c_i=sum_{i=joplus k} a_jcdot b_j ]

思路大概就是把序列 (a) 变换为 (fwt(a))，(b,c) 同理，使得 (fwt(c)=fwt(a) fwt(b))，这样得到了 (fwt(c)) 再变换回来

或运算

[c_i=sum_{i=j|k} a_jcdot b_j ]

构造 (fwt(a)_i=sum_{i|j=i} a_j)
也就是，取所有下标是 (i) 的二进制位中子集的 (a_j) 的和
由于有 (i|j=i,i|k=iRightarrow i|(j|k)=i)，所以：

[fwt(a)_icdot fwt(b)_i=left(sum_{i=i|j}a_j ight)cdot left(sum_{i=i|k}b_k ight)=sum_{i=i|j}sum_{i=i|k} a_j b_k=sum_{i=i|(j|k)} a_j b_k=fwt(c)_i ]

于是考虑如何求 (fwt(a))，考虑分治，用 (a_0,a_1) 分别表示 (a) 序列中下标第一个二进制位为 (0/1) 的情况（各 (2^{n-1}) 个数），则有：

[fwt(a)=operatorname{merge}(fwt(a_0),fwt(a_0+a_1)) ]

(operatorname{merge}) 为链接，加号为每一位分别相加
就是说由于是求下标是它子集的元素的和，那么 (a_1) 是可以将第一个二进制位改为 (0)，得到它的一个子集，也就是包含了 (a_0)

再考虑如何由 (fwt(a)) 求出 (a)，其实直接反过来就好：

[a=operatorname{merge}(a_0,a_1-a_0) ]

与运算

[c_i=sum_{i=j& k} a_jcdot b_j ]

其实和或运算类似，构造 (fwt(a)_i=sum_{i&j=i} a_j)
然后分治的时候，可以把 (a_0) 的第一个二进制位改为 (1)，包含上 (a_1)，于是：

[fwt(a)=operatorname{merge}(fwt(a_0)+fwt(a_1),fwt(a_1)) ]

[a=operatorname{merge}(a_0-a_1,a_1) ]

异或

[c_i=sum_{i=joperatorname{xor}k} a_jcdot b_j ]

稍微复杂一些，不能用子集的关系表示了
设 (f(i,j)=operatorname{popcount}(i&j) mod 2)

有：(f(i,j)operatorname{xor}f(i,k)=f(i,joperatorname{xor}k))
证明大概就是，因为是先与运算再统计二进制中 (1) 的个数，所以只用考虑 (i) 为 (1) 的那几位，如果 (j,k) 在这些位上也是 (1) 的个数的奇偶性相同，那么他们中有一部分是重叠的会被异或掉，剩下的显然奇偶性仍然相同，那么总共偶数个，结果为 (0)
如果奇偶性不同，那么重叠的部分被异或掉以后，剩下的奇偶性仍然不同，总共奇数个，结果为 (1)

那么此时就可以构造：

[fwt(a)=sum_{f(i,j)=0} a_j-sum_{f(i,j)=1} a_j ]

那么相乘就是

[egin{aligned}fwt(a)_icdot fwt(b)_i &=left(sum_{f(i,j)=0} a_j-sum_{f(i,j)=1} a_j ight)left(sum_{f(i,k)=0} b_k-sum_{f(i,k)=1} b_k ight)\ &=sum_{f(i,j)=0} a_j sum_{f(i,k)=0} b_k-sum_{f(i,j)=1} a_jsum_{f(i,k)=0} b_k-sum_{f(i,j)=0} a_jsum_{f(i,k)=1} b_k+sum_{f(i,j)=1} a_jsum_{f(i,k)=1} b_k\ &=left(sum_{f(i,j)=0}sum_{f(i,k)=0} a_jb_k+sum_{f(i,j)=1}sum_{f(i,k)=1} a_jb_k ight)-left(sum_{f(i,j)=1}sum_{f(i,k)=0} a_jb_k+sum_{f(i,j)=0}sum_{f(i,k)=1} a_jb_k ight)\ &=left(sum_{f(i,joperatorname{xor}k)=0operatorname{xor}0} a_jb_k+sum_{f(i,joperatorname{xor}k)=1operatorname{xor}1} a_jb_k ight)-left(sum_{f(i,joperatorname{xor}k)=1operatorname{xor}0} a_jb_k+sum_{f(i,joperatorname{xor}k)=0operatorname{xor}1} a_jb_k ight)\ &=sum_{f(i,joperatorname{xor}k)=0} a_jb_k-sum_{f(i,joperatorname{xor}k)=1} a_jb_k\ &=fwt(c)_i\ end{aligned} ]

然后考虑分治的时候如何计算，有：

[fwt(a)=operatorname{merge}(a_0+a_1,a_0-a_1) ]

[a=operatorname{merge}(frac{a_0+a_1}{2},frac{a_0-a_1}{2}) ]

原理上，就是对于前 (2^{n-1}) 个数，最高位是 (0)，由于 (0&0=0&1=0)，对 (f) 的结果没有影响，直接简单相加
后 (2^{n-1}) 个数，最高位是 (1)，由于 (1&0=0,1&1=1)，使得 (f) 结果改变，应为 (-a_1)

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模板题：https://www.luogu.com.cn/problem/P4717

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define reg register
#define LL_INF (long long)(0x3f3f3f3f3f3f3f3f)
#define INT_INF (int)(0x3f3f3f3f)
inline int read(){
	register int x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=getchar();}
	return y?x:-x;
}
#define mod 998244353
#define inv 499122177
#define N 131078
int n;
long long A[N],B[N],C[N];
long long a[N],b[N],c[N];
inline void OR(long long *f,long long *a,int x){
	for(reg int i=0;i<n;i++) f[i]=a[i];
	for(reg int o=2,k=1;o<=n;o<<=1,k<<=1)
		for(reg int i=0;i<n;i+=o)for(reg int j=0;j<k;j++)
			f[i+j+k]=(f[i+j+k]+mod+(x?f[i+j]:-f[i+j]))%mod;
}
inline void AND(long long *f,long long *a,int x){
	for(reg int i=0;i<n;i++) f[i]=a[i];
	for(reg int o=2,k=1;o<=n;o<<=1,k<<=1)
		for(reg int i=0;i<n;i+=o)for(reg int j=0;j<k;j++)
			f[i+j]=(f[i+j]+mod+(x?f[i+j+k]:-f[i+j+k]))%mod;
}
inline void XOR(long long *f,long long *a,int x){
	for(reg int i=0;i<n;i++) f[i]=a[i];
	for(reg int o=2,k=1;o<=n;o<<=1,k<<=1)
		for(reg int i=0;i<n;i+=o)for(reg int j=0;j<k;j++){
			f[i+j]=(f[i+j]+f[i+j+k])%mod;
			f[i+j+k]=(f[i+j]-f[i+j+k]-f[i+j+k]+mod+mod)%mod;
			if(!x) f[i+j]=f[i+j]*inv%mod,f[i+j+k]=f[i+j+k]*inv%mod;
		}
}
inline void calc(long long *a,long long *b,long long *c){
	for(reg int i=0;i<n;i++) c[i]=a[i]*b[i]%mod;
}
int main(){
	n=(1<<read());
	for(reg int i=0;i<n;i++) A[i]=read();
	for(reg int i=0;i<n;i++) B[i]=read();
	OR(a,A,1);OR(b,B,1);calc(a,b,c);OR(C,c,0);
	for(reg int i=0;i<n;i++) printf("%d ",C[i]);puts("");
	AND(a,A,1);AND(b,B,1);calc(a,b,c);AND(C,c,0);
	for(reg int i=0;i<n;i++) printf("%d ",C[i]);puts("");
	XOR(a,A,1);XOR(b,B,1);calc(a,b,c);XOR(C,c,0);
	for(reg int i=0;i<n;i++) printf("%d ",C[i]);puts("");
	return 0;
}