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  • 最大团

    转载自: http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/archive/2013/07/29/3224092.html

    一、定义

    一个无向图 G=(V,E),V 是点集,E 是边集。取 V 的一个子集 U,若对于 U 中任意两个点 u 和 v,有边 (u,v)∈E,那么称 U 是 G 的一个完全子图。 U 是一个团当且仅当 U 不被包含在一个更大的完全子图中。

    G的最大团指的是定点数最多的一个团。

    当然,这种算法很不高效,所以当图中有 100 个点以上时,请慎用

    先看看一个显而易见的 DFS :

        初始化:

          从一个点 u 开始,把这个点加入到一个集合中,设为 U。遍历一遍所有和他相连的点,把他们放入另一个集合 S1 中,接下来进行第一遍 DFS

        第一遍 DFS :

          从 S1 中选择一个点 u1,这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连(因为加入集合的时候这些点和u是相连的)。把集合 S1 中 u1 能访问到的点加入到集合 S2 中,并把 u1 加入到集合 U 中,进行第二遍 DFS

        第二遍 DFS :

          从 S2 中选择一个点 u2,这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S2 中 u2 能访问到的点加入到集合 S3 中,并把 u2 加入到集合 U 中,进行第三遍 DFS

        第三遍 DFS :

          从 S3 中选择一个点 u3,这个点肯定和集合 U 中的任何一个点相连。把集合 S3 中 u3 能访问到的点加入到集合 S4 中,并把 u3 加入到集合 U 中,进行第四遍 DFS

        ......

        最底层的 DFS :

          当某个 S 集合为空集的时候,DFS 结束,这时候我们就找到了一个完全子图,用这个完全子图更新我们的最大团。退出当前的 DFS,返回上层 DFS,接着找下一个完全子图,直到找完所有的完全子图

    按照上面介绍的 DFS 方法,肯定能够得到一个最大团,因为该 DFS 把所有的完全子图都枚举了一遍。但是这样做的时间复杂度是不是太高了?

    于是产生了下面的 DFS 过程,大致上和上面的 DFS 一样,只不过有一些地方不太一样了

    首先,我们先得到后几个点组成的最大团到底是多大,(最开始的时候肯定是最后一个点单独构成一个最大团,点数为1)然后我们再 DFS:

        初始化:

          从一个点 u 开始,把这个点加入集合 U 中。将编号比它大的且和它相连的点加入集合 S1 中,为了方便,将集合 S1 中的点有序,让他们从小到大排列,进行第一遍 DFS

        第一遍 DFS :

          从 S1 中选择一个点 u1,遍历 S1 中,所有编号比 u1 大且和 u1 相连的点,其实也就是排在 u1 后面,并且和 u1 相连的点,将它们加入集合 S2 中。同理,让 S2 中的点也按照编号也从小到大排列。将 u1 加入集合 U 中,进行第二遍 DFS

        第二遍 DFS :

          从 S2 中选择一个点 u2,遍历 S2 中,所有排在 u2 后面且和 u2 相连的点,并把它们加入集合 S3 中,让 S3 中的点按照编号从小到大排列,将 u2 加入集合 U 中进行第三遍 DFS

        第三遍 DFS :

          从 S3 中选择一个点 u3,遍历 S3 中,所有排在 u3 后面且和 u3 相连的点,并把它们加入集合 S4 中,让 S4 中的点按照编号从小到大排列,将 u3 加入集合 U 中进行第四遍 DFS

        ......

        最底层的 DFS :

          当某个 S 集合为空时,DFS 过程结束,得到一个只用后面几个点构成的完全子图,并用它去更新只用后面几个点构成的最大团。退出当前 DFS,返回上层 DFS,接着找下一个完全子图,直到找完所有的完全子图

    上面的 DFS 过程,如果不加任何剪枝的话,其实和第一个 DFS 是差不多的,但是既然我们都这样 DFS 了,能不能想一想怎么剪枝呢?

    假设我们当前处于第 i 层 DFS,现在需要从 Si 中选择一个 ui,把在 Si 集合中排在 ui 后面的和 ui 相连的点加入集合 S(i+1) 中,把 ui 加到集合 U 中

    可能大家稍作思考之后就想到了一个剪枝:

    剪枝1:如果 U 集合中的点的数量+1(选择 ui 加入 U 集合中)+Si 中所有 ui 后面的点的数量 ≤ 当前最优值,不用再 DFS 了

    还有什么剪枝呢?

    注意到我们是从后往前选择 u 的,也就是说,我们在 DFS 初始化的时候,假设选择的是编号为 x 的点,那么我们肯定已经知道了用 [x+1, n] ,[x+2, n],[x+3, n] ...[n,n] 这些区间中的点能构成的最大团的数量是多大

    剪枝2:如果 U 集合中的点的数量+1(理由同上)+[ui, n]这个区间中能构成的最大团的顶点数量 ≤ 当前最优值,不用再 DFS了

    有这两个剪枝就够了吗?

    不,我们还能想出一个剪枝来:

    剪枝3:如果 DFS 到最底层,我们能够更新答案,不用再 DFS 了,结束整个 DFS 过程,也不再返回上一层继续 DFS 了

    为什么?因为我们如果再继续往后 DFS 的话,点的编号变大了,可用的点变少了(可用的点在一开始 DFS 初始化的时候就确定了,随着不断的加深 DFS 的层数,可用的点在不断的减少)

    有了上面三个剪枝,100 个点以内的图,我们也能非常快的出解了

    可能有人会问,如果想知道最大团包含哪些节点该怎么办?

    这还不简单?每次 DFS 都会加一个点进入 U 集合中,DFS 到最底层,更新最大团数量的时候,U 集合中的点一定是一个完全子图中的点集,用 U 集合更新最大团的点集就行了

    三、常用结论

    1、最大团点的数量=补图中最大独立集点的数量

    2、二分图中,最大独立集点的数量+最小覆盖点的数量=整个图点的数量

    3、二分图中,最小覆盖点的数量=最大匹配的数量

    4、图的染色问题中,最少需要的颜色的数量=最大团点的数量

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