容斥原理与错排问题

容斥原理与错排问题：

容斥原理：

定理：设A,B为两个有限集，则(遇到这种问题画文氏图判断一下)

|AUB|=|A|+|B|-|AnB|.(并换成“或”，交换成“且”)；

证明：见离散课本

例1：有多少个以”1“开始或者以”00“结尾的长度为8的0-1序列?

以”1”开始的长度为8的0-1序列有27=128个；

以“00”结尾的长度为8的0-1序列有26=64个；

以“1”开始且以“00”结尾的长度为8的0-1序列有128+64-32=160个

 

容斥原理可以推广到三个有限集元素的计数问题：

定理：设A,B,C是有限集合，则 |AUBUC|=|A|+|B|+|C|-| AnB|-|BnC|-|AnC|+|AnBnC|

(画一画文氏图)

证明：见离散课本

 

容斥原理进一步推广到m个有限集的计数问题上：

|A₁UA₂U...A_m|

=∑^m_i=1|A₁|-∑_{0≤i≤j≤m}|A_inA_j|+∑_{0≤i≤j≤k≤m}|A_inA_jnA_k|+...+(-1)^m-1|A₁nA₂n...nA_m|;

错排问题：(也称伯努利-欧拉错装信封问题)

问题：家中阳台有10盆不同的花，为保持新鲜感，希望每天重新摆放，使得每盆花都不在第一天放的位置。那么最多可以保持多少天每天摆法都不同？

抽象一下，若一个n元素的全排列中所有的元素都不在本来的位置上，那么称这个全排列就为原排列的一个错排(derangement).

一个形式化的表述是：若1~n的一个全排列σ₁σ₂...σ_n满足σi≠i对所有的1≤i≤n成立，则称σ₁σ₂...σ_n为1~n的一个错排。

 

问题：小明给n个朋友写信，邀请他们来家中聚会，结果粗心的他却把请柬全都装错了信封。请问有多少种全部装错信封的情况？

n个元素的错排的个数记为D(n)或d(n)或“!n",称作错排数或德·蒙特莫特数。

 

下边通过两种方法计算D(n)的具体值。

方法1：建立递推关系。

第一步，选择第n个元素的位置，共有n-1种方法(假定放在标号为k的位置)；

第二步，选择第k个元素的位置，有两种可能

1.第k个元素放在标号为n的位置，此时剩下的n-2个元素进行错排即可，方案数是D(n-2);

2.第k个元素不在标号为n的位置，此时把标号为n的位置视作标号为k的位置，将(n-1)

个元素进行错排即可，方案数是D(n-1);

由此得到递推关系D(n)=(n-1)(D(n-2)+D(n-1)),初值D(1)=0,D(2)=1.

//推导过程

因为D(1)=0,则:0!=1，N(1)=0；

       D(2)=1，则:2!=2*1,N(2)=1/2；

则N(1) = 0, N(2)=1/2.

n≥3时，

D(n-1)=(n-1)!*N(n-1)，D(n-2)=(n-2)！*N(n-2)；

则：n! N(n) = (n-1)*[ (n-1)! N(n-1) + (n-2)! N(n-2) ] ;

即   nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2) ;

则：[N(n)-N(n-1)] / [ N(n-1)-N(n-2)] =-1/ n;

       [ N(n-1) - N(n-2) ] / [N(n-2)-N(n-3)] =-1/(n-1)；

         .

         .

         .

      [ N[3] - N[2] ] / [ N[2]-N[1] =-1/3;

将上式累乘得：

于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n= (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.

因此

              N(n-1) - N(n-2)= (-1)^(n-1) / (n-1)!,

…

N(2) - N(1) =(-1)^2 / 2!.

将上式累加，可得

N(n) = (-1)^2/2!+ … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!

因此

D(n) = n![(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].

此即错排公式。//

方法二：应用容斥原理。

分别固定1个元素，2个元素...得到结果。

n个元素的全排列有n！个，用集合A_k表示第k个位置是第k个元素(也即元素k没有发生错排)的所有排列，则易得

|A_i|=(n-1)!,1≤i≤n

|A_inA_j|=(n-2)! 1≤i≤j≤n

......

|A₁nA₂n...nA_n|=0!

则由容斥原理可以得到

从n个点中选取一个固定点，依次类推...

用容斥原理对结果进行带入，而从n个点中选x个不动点的组合数为，那么至少包含一个不动点的排列数为:

不包含不动点(即错排数)的结果就是：

 化简一下：

大佬博客，有关容斥原理的各种应用：

 链接：https://www.cnblogs.com/fht-litost/p/9556802.html

百度百科关于错排问题：

链接：https://baike.baidu.com/item/%E9%94%99%E6%8E%92%E5%85%AC%E5%BC%8F/10978508?fr=aladdin