图论-图的存储方式

图的存储方式：

1，数组表示法：

用两个数组来存储图的信息

• 顶点表：记录各个顶点信息的
• 邻接矩阵：表示各个顶点之间的关系(有关为1，无关为0)

注：无向图的邻接矩阵是对称的，有向图的邻接矩阵可能是不对称的。

无向图的邻接矩阵

结点i的度=邻接矩阵中第i行或第i列之和

存储压缩：上三角矩阵或下三角矩阵(不含对角线)

有向图的邻接矩阵

结点i的出度=邻接矩阵中第i行之和

结点i的入度=邻接矩阵中第i列之和

A.edge[i][j]= 如果两点直接存在边且有权值，就记为权值，自环或者无边就记为∞

优点：容易实现图的各种基本操作

{

查找顶点，

判断顶点之间是否有边，仅仅耗费O(1)时间

找顶点的邻接点

}

缺点：稀疏图，即使边数<<n^2,也需要占用O(n^2)的存储单元，读入数据需要耗费O(n^2)时间

邻接矩阵表示方法，code：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<vector<bool> > adj;

bool find_edge(int u, int v) { return adj[u][v]; }

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int v = 1; v <= n; ++v) {
    if (adj[u][v]) {
      dfs(v);
    }
  }
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  adj.resize(n + 1, vector<bool>(n + 1, false));

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    adj[u][v] = true;
  }

  return 0;
}

2，邻接表表示法

图的一种链式存储结构

顶点表：记录各个顶点的信息，通常以顺序结构存储，也可以链式存储(vector存储)

邻接链表：为每个顶点建立一个单链表，表示依附于改顶点的所有边(对有向图是以该节点为尾的所有弧)

无向图的邻接表

优点：n个顶点，e条边的无向图，只需要n个头结点和2e个表节点。对稀疏图而言，比数组表示法节省存储空间。

缺点：每条边需要对应两个表结点

有向图的邻接表

缺点：

{

查找进入某个结点的弧不易

求某个顶点的入度需要遍历整个邻接表

}

改进：建立逆邻接表

邻接表表示法code：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<int> adj[n+1];

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) {
    if (adj[u][i] == v) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) dfs(adj[u][i]);
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  adj.resize(n + 1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    adj[u].push_back(v);
  }

  return 0;
}

3，链式前向星：

本质上是用链表实现的邻接表，核心代码如下：

// head[u] 和 cnt 的初始值都为 -1
void add(int u, int v) {
  next[++cnt] = head[u];  // 当前边的后继
  head[u] = cnt;         // 起点 u 的第一条边
  to[cnt] = v;           // 当前边的终点
}

// 遍历 u 的出边
for (int i = head[u]; ~i; i = next[i]) {  // ~i 表示 i != -1
  int v = to[i];
}

代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<int> head, next, to;

void add(int u, int v) {
  next.push_back(head[u]);
  head[u] = to.size();
  to.push_back(v);
}

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {  // ~i 表示 i != -1
    if (to[i] == v) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int i = head[u]; ~i; i = next[i]) dfs(to[i]);
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  head.resize(n + 1, -1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    add(u, v);
  }

  return 0;
}

4，十字链表

5，邻接多重表表示

6，直接存边：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

struct Edge {
  int u, v;
};

int n, m;
vector<Edge> e;
vector<bool> vis;

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    if (e[i].u == u && e[i].v == v) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    if (e[i].u == u) {
      dfs(e[i].v);
    }
  }
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  e.resize(m + 1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) cin >> e[i].u >> e[i].v;

  return 0;
}