数论-约数

一.试除法求约数：

vector<int> get_divisorts(int t){
    vector<int> a;
    for(int i = 1;i <= t/i;++i){
        if(t % i == 0){
            a.push_back(i);
            if(i != t/i) a.push_back(t/i);
        }
    }
    return a;
}

二.约数个数：

公式：由唯一分解定理： X = P1^a + P2^b + ... + Pn^m，约数个数 等于 (a+1) * (b+1) * ... * (m+1)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int mod = 1e9+7;

int main(){
    unordered_map<int, int> primes;
    ll res = 1;
    int n;cin >> n;
    while(n --){
        int x; cin >> x;
        //求出唯一分解定理里的每一项
        for(int i = 2;i <= x/i;++i){
            while(x % i == 0){
                x /= i;
                ++ primes[i];    
            }
        }
        if(x > 1) ++ primes[x];
    }
    for(auto p : primes) res = res * (p.second+1) % mod;//约数个数等于唯一分解定理里每个指数+1再相乘  
    cout << res << endl;
    return 0;
}

三.约数之和：

公式：X = P1^a + P2^b + ... + Pn^m，约数之和 = (p1^0 + p1^1 + ... + p1^a) * (p2^0 + p2^1 + ... p2^b) * ... * (pn^0 + ... + pn^m)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;

int main(){
    unordered_map<int, int> prime;
    int n;cin >> n;
    while(n --)
    {
        int x;cin>> x;
        for(int i = 2;i <= x/i;++i){
            while(x % i == 0){
                x /= i;
                prime[i]++;
            }
        }
        if(x > 1)prime[x]++;
    }
    ll res = 1;
    for(auto p : prime){
        int a = p.first, b = p.second;        
        ll t = 1;
        while(b--) t = (t * a + 1) % mod;
        res =res * t % mod;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

四.gcd(欧几里得算法）（辗转相除法）：求最大公约数：

公式：(a, b) = (b, a % b)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main(){
    int n;cin >> n;
    while(n --){
        int a, b;cin >> a >> b;
        cout << gcd(a,b) << endl;
    }
    return 0;
}