扩展欧几里得算法与线性同余方程

• 裴蜀定理：

对于任意的正整数a， b一定存在非零x，y使得：ax + by = gcd(a, b)(a和b的最大公约数）。

性质：ax + by 的最小值就是 gcd(a,b)

• 扩展欧几里得算法：

求出系数x，y

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    while (n -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        int x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d
", x, y);
    }

    return 0;
}

• 线性同余方程：

求出x使其满足 a * x = b ( % m)

原式又等于：

a * x = b + m * y 

a* x + m * (-y) = b, 故此时如果 b 是 gcd（a, m) 的倍数，则有解，否则无解

如果有解通过扩展欧几里得算法求出 x ，再 乘 b / gcd（a,m）倍

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;


int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}


int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);

        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d) puts("impossible");
        else printf("%d
", (LL)b / d * x % m);
    }

    return 0;
}