数论-组合数

组合数一：

组合数范围小，询问多，可以采用预处理方式，把所有的都处理出来

题目：

给定nn组询问，每组询问给定两个整数a，ba，b，请你输出Cba mod (109+7)Cab mod (109+7)的值。

输入格式

第一行包含整数nn。

接下来nn行，每行包含一组aa和bb。

输出格式

共nn行，每行输出一个询问的解。

数据范围

1≤n≤100001≤n≤10000,
1≤b≤a≤20001≤b≤a≤2000

输入样例：

3
3 1
5 3
2 2

输出样例：

3
10
1

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 2010;
const int mod = 1e9+7;

int c[N][N];

void init(){
    for(int i = 0;i < N;++i)
        for(int j = 0;j <= i;++j)
            if(j == 0) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i-1][j-1] + c[i-1][j]) % mod;//记住这个公式
}

int main(){
    init();
    int n;cin >> n;
    while(n --){
        int a, b;cin >> a >> b;
        cout << c[a][b] << endl;
    }
    return 0;
}

组合数二：

组合数范围大，询问也很多，可以采用组合数公式，此时需要用到乘法逆元

题目：

给定nn组询问，每组询问给定两个整数a，ba，b，请你输出Cba mod (109+7)Cab mod (109+7)的值。

输入格式

第一行包含整数nn。

接下来nn行，每行包含一组aa和bb。

输出格式

共nn行，每行输出一个询问的解。

数据范围

1≤n≤100001≤n≤10000,
1≤b≤a≤1051≤b≤a≤105

输入样例：

3
3 1
5 3
2 2

输出样例：

3
10
1

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e5+10;
const int mod = 1e9+7;

ll fact[N], infact[N];//fact存的是阶乘，infact存的是阶乘的逆元

ll qmi(ll a, ll k, ll p){
    ll res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int main(){
    fact[0] = infact[0] = 1;
    for(int i = 1;i < N;++i){
        fact[i] = i * fact[i - 1] % mod;
        infact[i] = qmi(fact[i], mod - 2, mod) % mod;
    }
    int n;cin >> n;
    while(n --){
        int a, b;cin >> a >> b;
        cout << fact[a]*infact[b]%mod*infact[a-b]%mod << endl;
    }
    return 0;
}

组合数三：

询问少，但是组合数范围巨大，采用卢斯卡定理，

组合数定义式：       

题目：

给定nn组询问，每组询问给定三个整数a,b,pa,b,p，其中pp是质数，请你输出Cba mod pCab mod p的值。

输入格式

第一行包含整数nn。

接下来nn行，每行包含一组a,b,pa,b,p。

输出格式

共nn行，每行输出一个询问的解。

数据范围

1≤n≤201≤n≤20,
1≤b≤a≤10181≤b≤a≤1018,
1≤p≤1051≤p≤105,

输入样例：

3
5 3 7
3 1 5
6 4 13

输出样例：

3
3
2

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll qmi(ll a, ll k, ll p){
    ll res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

ll C(ll a, ll b, ll p){
    if(b > a) return 0;
    ll x = 1, y = 1;
    for(int i = 0; i < b; i++)//定义式
    {
        x = x * (a - i) % p;
        y = y * (i + 1) % p;
    }
    return x * qmi(y, p - 2, p) % p;//x是分子，y是分母，分母用到了逆元
}

ll lusca(ll a, ll b, ll p){
    if(a < p && b < p) return C(a, b, p);
    return C(a%p, b%p, p) * lusca(a/p, b/p, p) % p;//公式
}

int main(){
    int n;cin >> n;
    while(n --){
        ll a, b, p;cin >> a >> b >> p;
        cout << lusca(a, b, p) << endl;
    }
    return 0;
}

组合数四：

求出来的结果很大，需要用到高精度

题目：

输入a,ba,b，求CbaCab的值。

注意结果可能很大，需要使用高精度计算。

输入格式

共一行，包含两个整数aa和bb。

输出格式

共一行，输出CbaCab的值。

数据范围

1≤b≤a≤50001≤b≤a≤5000

输入样例：

5 3

输出样例：

10

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5010;

int prime[N], cnt;
bool st[N];
int sum[N];


void get_prime(int n){
    for(int i = 2;i <= n;++i){
        if(!st[i]){
            prime[cnt++] = i;
            for(int j = i + i;j <= n;j += i) st[j] = true;
        }
    }
}
//看a的阶乘里有多少个p
int get(int a, int p){
    int res = 0;
    while(a){
        res += a / p;
        a /= p;
    }
    return res;
}
//高精度乘法
vector<int> mul(vector<int>& a, int b){
    vector<int> res;
    int t = 0;
    for(int i = 0;i < a.size();++i){
        t += a[i] * b;
        res.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while(t){
        res.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return res;
}

int main(){
    int a, b;cin >> a >> b;
    get_prime(a);//获取所有质数
    //枚举每个质数，看看结果里有多个该质数
    for(int i = 0;i < cnt;++i){
        int t = prime[i];
        sum[i] = get(a, t) - get(b, t) - get(a - b, t);
    }
    //求结果
    vector<int> ans; 
    ans.push_back(1);
    for(int i = 0;i < cnt;++i)
        for(int j = 0;j < sum[i];++j)
            ans = mul(ans, prime[i]);
        
    for(int i = ans.size()-1;i >= 0;--i) printf("%d", ans[i]);
    return 0;
}