背包问题整理

一：01背包

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N], b[N];
//int dp[N];
int n, v;

vector<vector<int>> memo(N, vector<int>(N, -1));

int dfs(int i, int j){
    if(memo[i][j] != -1) return memo[i][j];
    if(i == 0) return memo[i][j] = 0;
    int dfs1 = dfs(i-1, j);
    int dfs2 = -1;
    if(j >= a[i]) dfs2 = dfs(i-1, j - a[i]) + b[i];
    return memo[i][j] = max(dfs1, dfs2);
}

int main(){
    cin >> n >> v;
    for(int i = 1;i <= n;++i) cin >> a[i] >> b[i];//v p
    /*
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        for(int j = v;j >= a[i];--j)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-a[i]] + b[i]);//核心，第i层状态由第i-1层状态得到
    */    
    cout << dfs(n, v) << endl;
    return 0;    
}

二：完全背包

有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int dp[N];
int n, v;

int w[N], p[N];

int main(){
    cin >> n >> v;
    for(int i = 1;i <= n;++i) cin >> w[i] >> p[i];

    for(int i = 1;i <= n;++i)
        for(int j = w[i];j <= v;++j)
            //max后的dp[j]表示的是第i-1层的值，dp[j-w[i]]表示的是当前第i层如果要选k个物品由选k-1个物品更新得到
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + p[i]);
    cout << dp[v] << endl;
    return 0;
}

三：多重背包（未优化）

有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包。

第 ii 种物品最多有 sisi 件，每件体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 NN 行，每行三个整数 vi,wi,sivi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000<N,V≤100
0<vi,wi,si≤1000<vi,wi,si≤100

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int dp[N];
int n, v;

int w[N], p[N], s[N];

int main(){
    cin >> n >> v;
    for(int i = 1;i <= n;++i) cin >> w[i] >> p[i] >> s[i];
    
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        for(int j = v;j >= 0;--j){
            int t = 0;
            while(t <= s[i] && j >= t * w[i]){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - t*w[i]] +  t*p[i]);
                ++t;
            }
        }
    }
                
    cout << dp[v] << endl;
    return 0;
}

四：多重背包（二进制优化）

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1000*2000;

int n, v;
int dp[N], w[N], p[N];

int main(){
    cin >> n >> v;
    //拆分
    int cnt = 0;
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        int a, b, sum; cin >> a >> b >> sum;
        int k = 1;
        while(k <= sum){
            ++cnt;
            w[cnt] = a*k;
            p[cnt] = b*k;
            sum -= k;
            k *= 2;
        }
        if(sum){
            ++cnt;
            w[cnt] = a*sum;
            p[cnt] = b*sum;
        }
    }    
    //按照01背包问题求解
    for(int i = 1;i <= cnt;++i)
        for(int j = v;j >= w[i];--j)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+p[i]);
    
    cout << dp[v] << endl;
    return 0;
}

五：分组背包：

有 NN 组物品和一个容量是 VV 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vijvij，价值是 wijwij，其中 ii 是组号，jj 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 NN 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 SiSi，表示第 ii 个物品组的物品数量；
• 每组数据接下来有 SiSi 行，每行有两个整数 vij,wijvij,wij，用空格隔开，分别表示第 ii 个物品组的第 jj 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000<N,V≤100
0<Si≤1000<Si≤100
0<vij,wij≤1000<vij,wij≤100

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;
int v[N][N], w[N][N];
int s[N];
int dp[N];

int main(){
    int n, m; cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        cin >> s[i];       
        for(int j = 1;j <= s[i];++j)
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        for(int j = m;j >= 0;--j)
            for(int k = 1;k <= s[i];++k)
                if(j >= v[i][k])
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i][k]] + w[i][k]);
    
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

end