查找算法

介绍

查找是在大量的信息中寻找一个特定的信息元素，在计算机应用中，查找是常用的基本运算，例如编译程序中符号表的查找。本文简单概括性的介绍了常见的七种查找算法，说是七种，其实二分查找、插值查找以及斐波那契查找都可以归为一类——插值查找。插值查找和斐波那契查找是在二分查找的基础上的优化查找算法。树表查找和哈希查找会在后续的博文中进行详细介绍。

　　查找定义：根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素（或记录）。

　　查找算法分类：

　　1）静态查找和动态查找；

　　　　注：静态或者动态都是针对查找表而言的。动态表指查找表中有删除和插入操作的表。

　　2）无序查找和有序查找。

　　　　无序查找：被查找数列有序无序均可；

　　　　有序查找：被查找数列必须为有序数列。

　　平均查找长度（Average Search Length，ASL）：需和指定key进行比较的关键字的个数的期望值，称为查找算法在查找成功时的平均查找长度。

　　对于含有n个数据元素的查找表，查找成功的平均查找长度为：ASL = Pi*Ci的和。
　　Pi：查找表中第i个数据元素的概率。
　　Ci：找到第i个数据元素时已经比较过的次数。

1. 顺序查找

　　说明：顺序查找适合于存储结构为顺序存储或链接存储的线性表。

　　基本思想：顺序查找也称为线形查找，属于无序查找算法。从数据结构线形表的一端开始，顺序扫描，依次将扫描到的结点关键字与给定值k相比较，若相等则表示查找成功；若扫描结束仍没有找到关键字等于k的结点，表示查找失败。

　　复杂度分析：　

　　查找成功时的平均查找长度为：（假设每个数据元素的概率相等） ASL = 1/n(1+2+3+…+n) = (n+1)/2 ;
　　当查找不成功时，需要n+1次比较，时间复杂度为O(n);

　　所以，顺序查找的时间复杂度为O(n)。

public class SeqSearch {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr ={45,42,13,123,78,13};
        System.out.println(seqSearch(arr,13));

    }

    public static int seqSearch(int[] arr,int value){
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i] ==value){
                return i;
            }
            }
        return -1;
        }
    }

2. 二分查找

　　说明：元素必须是有序的，如果是无序的则要先进行排序操作。

　　基本思想：也称为是折半查找，属于有序查找算法。用给定值k先与中间结点的关键字比较，中间结点把线形表分成两个子表，若相等则查找成功；若不相等，再根据k与该中间结点关键字的比较结果确定下一步查找哪个子表，这样递归进行，直到查找到或查找结束发现表中没有这样的结点。

　　复杂度分析：最坏情况下，关键词比较次数为log2(n+1)，且期望时间复杂度为O(log2n)；

　　注：折半查找的前提条件是需要有序表顺序存储，对于静态查找表，一次排序后不再变化，折半查找能得到不错的效率。但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，那就不建议使用。——《大话数据结构》

1.递归方式

public class BinarySearch {
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = {1,8,10,89,1000,1000,1234};
        ArrayList<Integer> list = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 10001);
        System.out.println("list= " +list);

    }




    //思路
    /*1.首先确定数组中间的下标*/
    /*2.需要查找的数进行比较*/
    /*2.1当大于时,在中轴的右边进行递归*/
    /*2.2小于时,在中轴的做左边进行递归*/
    /*2.3等于是=时直接返回*/
    //什么时候结束递归
    /*1.找到时结束递归*/
    /*2.递归完所有的数没有找到，left>right需要退出*/

/**
 *
 * @description:TODO
 * @params:1.数组2.左索引3.右索引4.查找的值
 * @return:
 * @author: 苏兴旺
 * @time: 2020/3/12 21:29
 */
    public  static  int binarySearch(int[] arr,int left,int right ,int findVal){
        int mid = (left+right)/2;
        int midVal = arr[mid];
        /*1.找到时结束递归*/
        /*2.递归完所有的数没有找到，left>right需要退出*/
        if (left>right){
            return -1;
        }
            if (findVal>midVal){//当大于时,在中轴的右边进行递归
                return binarySearch(arr,mid+1,right,findVal);
            }else if (findVal<midVal){
                return binarySearch(arr,left,mid-1,findVal);
            }else {
                return mid;
        }
    }


    /*升级版当数组中有重复值时*/
    /*1.在找到值时进行：mid索引值左边扫描将下标放到集合
    * 2.在找到值时进行：mid索引值右边扫描将下标放到集合*/
       public  static ArrayList<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right , int findVal){
        int mid = (left+right)/2;
        int midVal = arr[mid];
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
        /*1.找到时结束递归*/
        /*2.递归完所有的数没有找到，left>right需要退出*/
        if (left>right){
            return new ArrayList<>();
        }

        if (findVal>midVal){//当大于时,在中轴的右边进行递归
            return binarySearch2(arr,mid+1,right,findVal);
        }else if (findVal<midVal){
            return binarySearch2(arr,left,mid-1,findVal);
        }else {
            int temp = mid-1;
            while (true){//在找到值时进行：mid索引值左边扫描将下标放到集合
                if (temp<0||arr[temp]!=findVal){
                    break;
                }
                list.add(temp);
                temp-=1;
            }
            list.add(mid);
            temp = mid+1;
            while (true){//mid索引值右边扫描将下标放到集合
                if (temp>arr.length-1||arr[temp]!=findVal){
                    break;
                }
                list.add(temp);
                temp+=1;
            }
        }
        return list;
    }





}

2.非递归方式

public class BinarySearch {
    public static void main(String[] args) {
         int [] arr = {1,3,8,10,67,100};
         int index = binarySearch(arr,-8);
        System.out.println(index);
    }
    public static  int binarySearch(int[] arr,int target){
        int left = 0;
        int right = arr.length-1;
        while (left<=right){
            int mid = (left+right)/2;
            if (arr[mid] ==target){
                return mid;
            }else if (arr[mid]>target){
                right = mid-1;//需要向左查找
            }else {
                left = mid+1;//向右查找
            }
        }
        return -1;
    }
}

3. 插值查找

　　在介绍插值查找之前，首先考虑一个新问题，为什么上述算法一定要是折半，而不是折四分之一或者折更多呢？

　　打个比方，在英文字典里面查“apple”，你下意识翻开字典是翻前面的书页还是后面的书页呢？如果再让你查“zoo”，你又怎么查？很显然，这里你绝对不会是从中间开始查起，而是有一定目的的往前或往后翻。

　　同样的，比如要在取值范围1 ~ 10000 之间 100 个元素从小到大均匀分布的数组中查找5， 我们自然会考虑从数组下标较小的开始查找。

　　经过以上分析，折半查找这种查找方式，不是自适应的（也就是说是傻瓜式的）。二分查找中查找点计算如下：

　　mid=(low+high)/2, 即mid=low+1/2*(high-low);

　　通过类比，我们可以将查找的点改进为如下：

　　mid=low+(key-a[low])/(a[high]-a[low])*(high-low)，

　　也就是将上述的比例参数1/2改进为自适应的，根据关键字在整个有序表中所处的位置，让mid值的变化更靠近关键字key，这样也就间接地减少了比较次数。

　　基本思想：基于二分查找算法，将查找点的选择改进为自适应选择，可以提高查找效率。当然，差值查找也属于有序查找。

　　注：对于表长较大，而关键字分布又比较均匀的查找表来说，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之，数组中如果分布非常不均匀，那么插值查找未必是很合适的选择。

　　复杂度分析：查找成功或者失败的时间复杂度均为O(log2(log2n))。

public class InsertSearch {

    public static void main(String[] args) {
        //int mid = left+(right-left)*(findVal-arr[left])/(arr[right]-arr[left])
        int arr[] = new int[100];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            arr[i] = i+1;
        }
        System.out.println(Arrays.toString(arr));


        ArrayList<Integer> list = insertSearch(arr, 0, arr.length - 1, 2);
        System.out.println(list);

    }





    /*插值查找*/

    public  static ArrayList<Integer> insertSearch(int[] arr, int left, int right , int findVal){
        int mid = left+(right-left)*(findVal-arr[left])/(arr[right]-arr[left]);
        int midVal = arr[mid];
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
        /*1.找到时结束递归*/
        /*2.递归完所有的数没有找到，left>right需要退出*/
        if (left>right || findVal<arr[0]||findVal>arr[arr.length-1]){
            return new ArrayList<>();
        }

        if (findVal>midVal){//当大于时,在中轴的右边进行递归
            return insertSearch(arr,mid+1,right,findVal);
        }else if (findVal<midVal){
            return insertSearch(arr,left,mid-1,findVal);
        }else {
            int temp = mid-1;
            while (true){//在找到值时进行：mid索引值左边扫描将下标放到集合
                if (temp<0||arr[temp]!=findVal){
                    break;
                }
                list.add(temp);
                temp-=1;
            }
            list.add(mid);
            temp = mid+1;
            while (true){//mid索引值右边扫描将下标放到集合
                if (temp>arr.length-1||arr[temp]!=findVal){
                    break;
                }
                list.add(temp);
                temp+=1;
            }
        }
        return list;
    }
}

4. 斐波那契查找

　　在介绍斐波那契查找算法之前，我们先介绍一下很它紧密相连并且大家都熟知的一个概念——黄金分割。

　　黄金比例又称黄金分割，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1:0.618或1.618:1。

　　0.618被公认为最具有审美意义的比例数字，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。因此被称为黄金分割。

　　大家记不记得斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….（从第三个数开始，后边每一个数都是前两个数的和）。然后我们会发现，随着斐波那契数列的递增，前后两个数的比值会越来越接近0.618，利用这个特性，我们就可以将黄金比例运用到查找技术中。

　　基本思想：也是二分查找的一种提升算法，通过运用黄金比例的概念在数列中选择查找点进行查找，提高查找效率。同样地，斐波那契查找也属于一种有序查找算法。

　　相对于折半查找，一般将待比较的key值与第mid=（low+high）/2位置的元素比较，比较结果分三种情况：

　　1）相等，mid位置的元素即为所求

　　2）>，low=mid+1;

     3）<，high=mid-1。

　　斐波那契查找与折半查找很相似，他是根据斐波那契序列的特点对有序表进行分割的。他要求开始表中记录的个数为某个斐波那契数小1，及n=F(k)-1;

 开始将k值与第F(k-1)位置的记录进行比较(及mid=low+F(k-1)-1),比较结果也分为三种

　　1）相等，mid位置的元素即为所求

　　2）>，low=mid+1,k-=2;

　　说明：low=mid+1说明待查找的元素在[mid+1,high]范围内，k-=2 说明范围[mid+1,high]内的元素个数为n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1个，所以可以递归的应用斐波那契查找。

　　3）<，high=mid-1,k-=1。

　　说明：low=mid+1说明待查找的元素在[low,mid-1]范围内，k-=1 说明范围[low,mid-1]内的元素个数为F(k-1)-1个，所以可以递归 的应用斐波那契查找。

public class FibonacciSearch {
    public  static  int maxSize = 20;
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = {1,8,10,89,1000,1234};
        System.out.println(fibonacciSearch(arr,891));

    }


    /*非递归方式形成斐波那契数列*/
    public  static  int[] fib(){
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0]=1;
        f[1]=1;
        for (int i = 2; i < maxSize ; i++) {
            f[i] = f[i-1] + f[i-2];
        }
        return f;
    }
     /*非递归进行查找*/
    public  static  int fibonacciSearch(int[] arr,int findVal){
        int low =0;
        int high=arr.length-1;
        int k=0;//表示斐波那契分割值的下标
        int mid=0;
        int f[] = fib();//获得斐波那契数列
        //获得斐波那契数列的数值
        while (high>f[k]-1){
            k++;
        }
        //因为f【k】大于数值的数组的长度；需要拷贝原数组
        int[] temp = Arrays.copyOf(arr,f[k]);
         /*将数组最后的数填充到temp*/
        //{1,8,10,89,1000,1234}==>{1,8,10,89,1000,1234,1234,1234...}
        for (int i = high+1; i <temp.length ; i++) {
            temp[i] = arr[high];
        }
        while (low<=high){//找到key
            mid=low+f[k-1]-1;
            if (findVal<temp[mid]){//需要向数组的前面进行查找
                high=mid-1;
                k--;//1.全部元素=前面+后面 2.  f[k] = f[k-1] + f[k-2];
                    //因为mid前有f[k-1]个元素，可以继续进行拆分f[k-1]=f[k-2] + f[k-3]
                    //既可以在f【k-1】的前面进行查找
                    //可以在f【k-1-1】-1的前面进行查找
            }else if (findVal >temp[mid]){
                low = mid+1;
                /*1.全部元素=前面+后面
                * 2.f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                * 3.因为后面还有f[k-2]个元素 f[k-1]=f[k-3] + f[k-4]*/
                k-=2;
            }else {//找到
                if (mid<=high){
                    return mid;
                }else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;

    }



}