HDU 4983 Goffi and GCD（欧拉函数模板）

Problem Description：

Goffi is doing his math homework and he finds an equality on his text book: gcd(n−a,n)×gcd(n−b,n)=n^k.

Goffi wants to know the number of (a,b) satisfy the equality, if n and k are given and 1≤a,b≤n.

Note: gcd(a,b) means greatest common divisor of a and b.

Input：

Input contains multiple test cases (less than 100). For each test case, there's one line containing two integers n and k (1≤n,k≤109).

 

Output：

For each test case, output a single integer indicating the number of (a,b) modulo 109+7.

 

Sample Input：

2 1

3 2

 

Sample Output：

2

1

 

Hint：

For the first case, (2, 1) and (1, 2) satisfy the equality.

 

欧拉函数（求出一个数n与1~n之间互质的个数）：找到n的一个质因子i，那么1~n中与n的公约数是i的倍数的概率pi = 1/i，那么与n的公约数不是i的倍数（这些数可能就是与n互质的数）概率为1-pi，即（i-1）/i；那么当我们找到n所有的质因子时，1~n之间与n互质的概率就是所有（1-pi）的乘积，那么与n互质的个数就是:Eular(n)=n*(1-p1)*(1-p2)....(1-pi)；

 

LL Eular(LL n)
{
    LL i, ans = n;

    for (i = 2; i*i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            ans -= ans/i;

            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }

    if (n > 1) ans -= ans/n;

    return ans;
}

题意：给出n和k，求出满足gcd（n-a，n）*gcd（n-b，n） == n^k的（a，b）个数，注意（1，2）和（2，1）是两种情况。

1.由于gcd（n-a，n）的值肯定<=n，所以当k>2时不存在满足条件的（a，b）；

2.当k==2或者n==1时发现满足条件的（a，b）只有一种；

3.所以重点考虑k==1的情况：首先1<a<=n，那么0<=n-a<n，又因为gcd（0，n）= n，gcd（n-1，n）= 1，所以n-a相当于在1~n中，那么原式就可以变成gcd（a，n）*gcd（b，n）== n，那么gcd（a，n）就是n的一个因子，记为i，那么gcd（b，n）= n/i，由gcd（a，n）= i可得gcd（a/i，n/i）= 1，即a/i与n/i互质，且a/i<=n/i，那么满足式子的a的个数就是1~n/i与n/i互质的个数。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1e6+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;

typedef long long LL;

LL Eular(LL n)
{
    LL i, ans = n;

    for (i = 2; i*i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            ans -= ans/i;

            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }

    if (n > 1) ans -= ans/n;

    return ans;
}

int main ()
{
    LL n, k, ans, i, num;

    while (scanf("%lld %lld", &n, &k) != EOF)
    {
        ans = num = 0;

        if (k == 2 || n == 1) ans = 1;
        else if (k == 1)
        {
            for (i = 1; i*i <= n; i++)
            {
                if (n % i == 0)
                {
                    if (i*i != n) ans = (ans + Eular(n/i)*Eular(i)*2) % MOD; ///因为当i*i!=n时，满足情况的a和b不一样，需要乘2
                    else ans = ans = (ans + Eular(n/i)*Eular(i)) % MOD;
                }
            }
        }

        printf("%lld
", ans);
    }

    return 0;
}