P3974 [TJOI2015]组合数学

题目描述

为了提高智商,ZJY开始学习组合数学。某一天她解决了这样一个问题：给一个网格图,其中某些格子有财宝。每次从左上角出发,只能往右或下走。问至少要走几次才可能把财宝全捡完。

但是她还不知足,想到了这个问题的一个变形:假设每个格子中有好多块财宝,而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝,其他条件不变,至少要走几次才可能把财宝全捡完?

这次她不会做了,你能帮帮她吗?

输入输出格式

输入格式：

第一行为一个正整数t,表示数据组数

每组数据的第一行是两个正整数n和m,表示这个网格图有n行m列。

接下来n行,每行m个非负整数,表示这个格子中的财宝数量(0表示没有财宝)。

输出格式：

对于每组数据,输出一个整数,表示至少走的次数。

输入输出样例

输入样例#1： 

1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0

输出样例#1： 

10

说明

数据范围

对于30%的数据,n≤5.m≤5,每个格子中的财宝数不超过5块。

对于50%的数据,n≤100,m≤100,每个格子中的财宝数不超过1000块

对于100%的数据,n≤1000,m≤1000,每个格子中的财宝不超过10^6块

解析：

这是天津市2015年的省选题（天津好像离北京很近~~~）于是乎我就做了这道题。。。

题目的意思就是用最少的链覆盖住整个图，自然而然（看过题解后）就想到了最小链覆盖；

而根据著名的（反正我是没听过）的Dilworth定理，DAG最小链覆盖的条数就等于最大点独立集/最长反链的元素个数；；；

所谓de反链就是去找一些点，其中找两个点，使其直接间接均不可达；而反链中元素最多的就是最长反链了。

所以这个题的本质上是去找这个图的最长反链。

接下来就到了我们有趣的dynamic programming环节辣；；；

由题目可知，只能从左往右，从上往下走，所以这个题的反链一定是由右上到左下的。

而从上面和右面均能形成链，所以直接它直接就可能是这个点的最长反链；

从右上走到左下是不可能的，所以我们要把右上的点加上这个点的值才可能是最长反链；

而我们要求的是最长反链，但这几个部分显然是不能够同时取的，所以要选这三个的最大值

状态转移方程就很容易写出了：

f[i][j]=max(f[i-1][j+1]+a[i][j],max(f[i-1][j],f[i][j+1]));

　　这里还要注意的一点就是循环变量，i是从1-〉n递增的，j是从m-〉1递减的，原因很简单，就是要满足最长反链从左下不可能到达右上的性质；

下面上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>//getchar要引cstdio
using namespace std;
int t,n,m;
long long a[1005][1005],f[1005][1005];//要开大！洛谷上本题有5个极限数据，不开就会RE得很惨~
int read()//读入优化
{
    int f=1,x=0;
    char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    t=read();
    for(int s=1;s<=t;s++)
    {
        n=read();
        m=read();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                a[i][j]=read();
                f[i][j]=0;
            }
        }
       //dp
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=m;j>=1;j--)
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j+1]+a[i][j],max(f[i-1][j],f[i][j+1]));
            }
        }
        cout<<f[n][1]<<endl;//千万不要忘记输出回车。。。我爆了5次零。。。
    }
}