P1351 联合权值

题目描述

无向连通图G有n个点，n-1 条边。点从1到n依次编号,编号为i的点的权值为W_i
  ，每条边的长度均为 1。图上两点(u,v) 的距离定义为 u 点到 v 点的最短距离。对于图 G 上的点对 (u,v)，若它们的距离为 2，则它们之间会产生Wv*Wu的联合权值。

请问图 G上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

输入输出格式

输入格式：
第一行包含 1个整数 n。

接下来 n-1 行,每行包含 2个用空格隔开的正整数 u,v表示编号为 u 和编号为 v 的点之间有边相连。

最后 1 行,包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示图 G 上编号为 i 的点的权值为 W_i。

输出格式：
输出共 1 行,包含 2 个整数，之间用一个空格隔开,依次为图 G 上联合权值的最大值和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对10007取余。

输入输出样例

输入样例#1：
5
1 2
2 3
3 4
4 5
1 5 2 3 10
输出样例#1：
20 74

说明

本例输入的图如上所示，距离为2 的有序点对有(1,3) 、(2,4) 、(3,1) 、 (3,5)、(4,2) 、(5,3)。

其联合权值分别为2 、15、2 、20、15、20。其中最大的是20，总和为74。

【数据说明】

对于30%的数据，1<n≤100；

对于60%的数据，1<n≤2000；

对于100%的数据，1<n200000,0<Wi≤10000。

保证一定存在可产生联合权值的有序点对。

解析：

5年前的D1T2我调了3天没调出来，orz了一堆大佬才懂？？？

根据题目给的条件可知这是一颗树，目标就是说去求所有距离为2的点权值之积的和与最大值，第一想法是去枚举每个节点，找出所有与它距离为2的点，但是很明显会超时，只能得到70分，究其原因则是因为无向边要计算两遍，顺着这个思路走，会想到去组合边，之后整体×2即可，于是想到要去枚举中间的转折点（其实一开始就应该想到，因为故意要求距离为2的点），这个过程实际上还是一个乘法分配律的应用，当前的点要和之前的点一个一个乘，不必去枚举其它点，只需记录它们的和，有点类似于前缀和的思想，但实际上是一个乘法分配律的应用。而以当前节点作为中转点的最大联合权值，肯定是最大数乘上次大数，在这里不用记录次大数，只需线性扫一遍打一遍擂台即可

最后上AC代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,x,y,v[500001],head[500001],nxt[500001],cnt,w[200001];
long long sum,maxx;
void add(int a,int b)//链式前向星存边，效率高，在图论中有很重要的作用 
{
    v[++cnt]=b;//v[cnt]表示编号为cnt的边的终点 
    nxt[cnt]=head[a];//nxt[cnt]表示第cnt条边下一条边是head[a] 
    head[a]=cnt;//插入链表头部 
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        add(x,y);//无向边存两次 
        add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        long long fix=0,maxn=0;
        for(int j=head[i];j;j=nxt[j])
        {
            sum+=(fix*w[v[j]])%10007;//和之前的数每个相乘再相加，只需加他们的和就好了。 
            fix+=w[v[j]];//根据乘法分配律，打前缀和 
            maxx=max(maxx,maxn*w[v[j]]);//打擂台取最大值 
            maxn=max(maxn,w[v[j]]);
        }
    }
    cout<<maxx<<" "<<sum*2%10007;
    return 0;
}