Bellman-Ford&&SPFA算法详解

Dijkstra在正权图上运行速度很快，但是它不能解决有负权的最短路，如下图：

Dijkstra运行的结果是（以1为原点）：0 2 12 6 14；

但手算的结果，dist[4]的结果显然是5，为什么会出现这种情况呢？原因很显然，Dijkstra认为，从一个更长的边过来不会比一个更短的边过来更短（读起来很绕口，但请读者好好理解这句话！）但是由于出现了负权边，可以“救回来”，就像松弛2号节点一样。

Bellman_Ford:

知道了Dijkstra为什么不能做负权图之后，我们来看看Bellman-ford算法。它的基本思想是：图的最短路，既不会包含正环（可以不走），更不能有负环（否则一直走就可以无限小），因此最多经过n-1条边（每个节点都经过一次），bellman-ford实际上是枚举距离源点多少条边，尝试对每条边松弛的过程。请读者联系上图，自行推导一下Bellman_ford的运行过程

样例如下：

5 5
1 2 2
1 3 12
3 2 -13
2 4 4
3 5 2

朴素Bellman_Ford算法的时间复杂度是O(NM)；程序如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,s,dist[100001],v[200005],w[200005],u[200005],cnt,x,y,z;
void bellman_ford(int s)
{
    memset(dist,20,sizeof(dist));
    dist[s]=0;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            dist[v[j]]=min(dist[v[j]],dist[u[j]]+w[j]);
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&u[i],&v[i],&w[i]);
    }
    bellman_ford(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dist[i]<<" ";
    }
    return 0;
}

SPFA:

SPFA是对Bellman_Ford算法的优化，它采用队列保存即将松弛其他点的节点，每次选与队首相连的点进行松弛，可以使用链式前向星（邻接表）实现，避免了Bellman_Ford算法许多无效的松弛操作，平均复杂度O(KM)，K为平均松弛次数，也有可能被网格图卡回O(NM)，是不稳定的算法。程序如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,s,dist[100001],v[200005],w[200005],nxt[200005],head[200005],cnt,x,y,z;
bool vis[100001];
void add(int a,int b,int c)
{
    v[++cnt]=b;
    w[cnt]=c;
    nxt[cnt]=head[a];
    head[a]=cnt;
}
void SPFA(int s)
{
    memset(dist,20,sizeof(dist));
       queue<int>q;
    dist[s]=0;
    vis[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int c=q.front();
        q.pop();
        vis[c]=0;
        for(int i=head[c];i;i=nxt[i])
        {
            int y=v[i];
            if(dist[y]>=dist[c]+w[i])
            {
                dist[y]=dist[c]+w[i];
                if(!vis[y])
                {
                    q.push(y);
                    vis[y]=1;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
    }
    SPFA(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dist[i]<<" ";
    }
    return 0;
}