差分约束系统

差分约束系统解决的是一个N元1次不等式求解的问题，其中每一个不等式都形如Xi-Xj<=Ck，其中Ck为常数。差分约束系统与最短路关系甚密，可以用最短路算法求解，即先对不等式进行移项操作，将不等式转化为Xi<=Xj+Ck，这正是求完单源最短路后应该满足的条件（在没有负环的情况下）。其中每一个变量可以看作距源点的距离，常量就可以看作边权，每一个不等式就可以建一条边。

差分约束系统求解的技巧和注意事项：

1）考虑以下不等式组：a>b,b>c,c>a。很明显，这个不等式组无解。那么如何判断一个差分约束系统无解呢？联系上文的差分约束系统建图规则，当我们发现了一个负环的时候，差分约束系统就无解了。

2）在有不等号方向不同的不等式时，要先通过移项将所有不等式转化为方向相同的不等式。

3）在全都是>=的不等式组时，如Xi>=Xj+Ck,建边时需要建一条W(j,i)=Ck的边，再通过单源最长路进行求解。

4）在全都是<=的不等式组时，如Xi<=Xj+Ck,建边时需要建一条W(j,i)=Ck的边，再通过单源最短路进行求解。

5）在没有负环的情况下，每个Xi=dist[i]+k(k>=0)就是差分约束系统的一组解。

6）可能出现负边权，需要使用SPFA算法

下面来一道例题：

这道题目就是一道经典的差分约束系统题目，题目中给定了三种差分约束的条件：

• 农场a比农场b至少多种植了c个单位的作物，
• 农场a比农场b至多多种植了c个单位的作物，
• 农场a与农场b种植的作物数一样多。

对于这三个约束条件，我们可以列出如下不等式：

1、对于条件1，易得Xa-Xb>=c,进而得到Xa>=Xb+c;建一条W(b,a)=c的边

2、对于条件2，易得Xa-Xb<=c,进而得到-Xb<=c-Xa,不等式两边同乘-1得到Xb>=Xa+(-c);建一条W(a,b)=-c的边；

3、对于条件3，建两条W(a,b)=W(b,a)=0的边。

建好边后判断有无负环即可，下面给出参考代码（此题基本相当于差分约束系统模板题）：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,dist[50005],v[50005],w[50005],nxt[50005],head[50005],cnt,c,x,y,z;
bool instack[50005];
void add(int a,int b,int c)
{
    v[++cnt]=b;
    w[cnt]=c;
    nxt[cnt]=head[a];
    head[a]=cnt;
}
bool spfa(int node)
{
    instack[node]=1;
    for(int i=head[node];i;i=nxt[i])
    {
        int y=v[i];
        if(dist[y]<dist[node]+w[i])
        {
            dist[y]=dist[node]+w[i];
            if(instack[y])return 0;
            if(!spfa(y))return 0;
        }
    }
    instack[node]=0;
    return 1;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>c;
        if(c==1)
        {
            cin>>x>>y>>z;
            //dist[x]>=z+dist[y]
            add(y,x,z);
        }
        if(c==2)
        {
            cin>>x>>y>>z;
            //dist[y]>=-z+dist[x]
            add(x,y,-z);
        }    
        if(c==3){
            cin>>x>>y;
            add(x,y,0);
            add(y,x,0);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)add(0,i,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)dist[i]=-21370444;
    if(spfa(0))cout<<"Yes";
    else cout<<"No";
    return 0;
}