偏序问题及CDQ分治详解

CDQ用来解决分治时左半部分对右半部分造成影响的问题。

CDQ分治的经典问题是三维偏序问题。

要想解决三维偏序问题，首先你要知道什么是偏序。（废话）

一维偏序：

给出直线上的n个点，问有多少对点满足xi<=xj

对于这个问题，直接排序就可以了。

二维偏序：

给定平面内的n个点，问有多少对点满足xi<=xj且yi<=yj

这是个经典的树状数组问题，相信学过树状数组的人一定都做过·一道叫做数星星的题，这道题就是经典的二维偏序问题，并不需要二维数组，我们可以通过按x坐标为第一关键字排序，从而消除x坐标给答案带来的影响。然后我们用一个树状数组维护前缀和，记录之前有多少点的y坐标比该点小，由于在之前的x坐标一定比较小，因此只要保证y坐标即可。

三维偏序：

给出空间内的n个点，问有多少点对满足xi<=xj且yi<=yj且zi<=zj

树套树？？？码量++，空间++

在不强制在线的情况下，我们完全可以使用CDQ分治这种东西来简化一层树结构，因此三维偏序问题实际上可以这样处理：

1）仿照二位偏序问题，先给x排序，消除其影响。

2）使用CDQ分治，消除y的影响

3）使用数组维护z的前缀，统计答案。

1）、3）都是二维偏序的正常步骤，下面重点来讲讲CDQ分治

前边已经讲过了，CDQ分治要处理左区间对右区间的贡献问题。

其实很简单，我们把每一步操作分成三步：

1）递归处理左区间；2）递归处理右区间；3）处理左区间对右区间的贡献。

在三维偏序问题中，之所以不考虑右区间对左区间的贡献，是因为按x排序了，因此右区间一定不会对左区间造成贡献。

然后我们直接就按y排序，然后看一个东西是在左区间还是右区间，是左区间就放进一个树状数组中，否则直接求贡献。

因为CDQ直接分治到最小的单位，也就是一个点，因此可以保证所有答案都是没有遗漏的。

为了保证答案的不重复性，我们可以在求完贡献后把树状数组内贡献再撤消；

例题：洛谷P3810:陌上花开

参考代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define N 500005
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*f;
}
struct node{int x,y,z,id;}a[N];
bool cmpa(node a,node b)
{
    if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;
    if(a.y!=b.y)return a.y<b.y;
    return a.z<b.z;
}
bool cmpb(node a,node b)
{
    if(a.y!=b.y)return a.y<b.y;
    if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;
    return a.z<b.z;
}
int n,k,tot,c[500005],b[500005],f[500005],s,j,block[500005];
void modify(int x,int m){for(;x<=k;x+=lowbit(x))c[x]+=m;}
int query(int x){int res=0;for(;x;x-=lowbit(x))res+=c[x];return res;}
void cdq(int l,int r)
{
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)/2;
    cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);
    sort(a+l,a+r+1,cmpb);
    for(int i=l;i<=r;i++)(a[i].x<=mid)?modify(a[i].z,1),s=1:b[a[i].id]+=query(a[i].z);
    for(int i=l;i<=r;i++)if(a[i].x<=mid)modify(a[i].z,-1);
}
int main()
{    
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>k;//n=read();k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;//=read();a[i].y=read();a[i].z=read();
        a[i].id=i;
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmpa);
    for(int i=1;i<=n;)
    {
        j=i+1;
        while(j<=n&&a[i].x==a[j].x&&a[i].y==a[j].y&&a[i].z==a[j].z)j++;
        while(i<j)block[a[i].id]=a[j-1].id,i++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i].x=i;
    cdq(1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)f[b[block[a[i].id]]]++; 
    for(int i=0;i<n;i++)printf("%d
",f[i]);
    return 0;
}