扩展欧几里得算法详解(exgcd)

一、前言

本博客适合已经学会欧几里得算法的人食用~~~

二、扩展欧几里得算法

为了更好的理解扩展欧几里得算法，首先你要知道一个叫做贝祖定理的玄学定理： 即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得$ax+by=gcd(a,b)$。

通俗的说就是：如果$ax+by=c$有解，那么$c\%gcd(a,b)=0$

扩展欧几里得算法就是来求解$ax+by=c$这个方程的(判断有无解仅需使用欧几里得算法即可)。

我们不妨从递归到底的情况来入手。

当$b==0$时，显然有：

$egin{cases}x=1\y=0end{cases}$

为一组合法解

问题是如何解决不是递归最底层的情况。

考虑往下递归时候的操作，不妨设本层的$a$为$a_1$,$b$为$b_1$下一层的$a$为$a_2$,$b$为$b_2$

结合gcd的递归过程，显然有$a_2=b_1,b_2=a_1\%b_1$

由于递归算法总是先get到下层的解，因此我们可以直接设$a_2x_2+b_2y_2=gcd(a_2,b_2)$的解为$x_2,y_2$

然后我们来思考如何根据下层解得到上层的解。 

考虑取余运算的性质：显然有：$a\%b=a-(lfloor adiv b floor)*b$

然后我们把这个结论套进刚刚的式子中，用$a_1$和$b_1$替换$a_2$和$b_2$,这个过程大概是这个样子的：

$a_2x_2+b_2y_2=gcd(a_2,b_2)\=>b_1x_2+(a_1\%b_1)y_2=gcd(a_2,b_2)\=>b_1x_2+(a_1-a_1div b_1*b_1)y_2=gcd(a_2,b_2)\=>b_1x_2+a_1y_2-(a_1div b_1)b_1y_2=gcd(a_2,b_2)\=>a_1y_2+b_1(x_2-a_1div b_1*y_2)=gcd(a_2,b_2)$

经过以上非常基础的推算，我们可以得到$a_1,b_1,x_1,y_1,x_2,y_2$如下的关系：

$egin{cases}x_1=y_2\y_1=x_2-a_1div b_1*y_2end{cases}$

于是递归计算即可。

exgcd的代码实现大概长这样：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int x1=x,y1=y;
    x=y1;y=x1-a/b*y1;
}

三、例题分析

洛谷P1082同余方程

这道题开门见山，直接就说出了要求什么，可谓NOIP茫茫毒瘤题中一股清流

我们要求的是$ax≡1 (mod b)$,不妨设$ax+by=1$，接下来我们就可以搬出我们的exgcd的模板，轻松秒掉这道题。

值得注意的是，我们求出来的是最小解，而题目要求的是最小正整数解，因此如果不符合条件的话还要往上累加。

#include<iostream>
#include<cstdio> 
#define int long long
using namespace std;
int x,y,a,b;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int x1=x,y1=y;
    x=y1;y=x1-a/b*y1;
}
signed main()
{
    cin>>a>>b;
    exgcd(a,b,x,y);
    while(x<0)x=(x+b)%b;
    cout<<x<<endl;
    return 0;
}

(贝祖定理内容部分来自这位大佬的博客)