一、前言
本博客适合已经学会欧几里得算法的人食用~~~
二、扩展欧几里得算法
为了更好的理解扩展欧几里得算法,首先你要知道一个叫做贝祖定理的玄学定理: 即如果a、b是整数,那么一定存在整数x、y使得$ax+by=gcd(a,b)$。
通俗的说就是:如果$ax+by=c$有解,那么$c\%gcd(a,b)=0$
扩展欧几里得算法就是来求解$ax+by=c$这个方程的(判断有无解仅需使用欧几里得算法即可)。
我们不妨从递归到底的情况来入手。
当$b==0$时,显然有:
$egin{cases}x=1\y=0end{cases}$
为一组合法解
问题是如何解决不是递归最底层的情况。
考虑往下递归时候的操作,不妨设本层的$a$为$a_1$,$b$为$b_1$下一层的$a$为$a_2$,$b$为$b_2$
结合gcd的递归过程,显然有$a_2=b_1,b_2=a_1\%b_1$
由于递归算法总是先get到下层的解,因此我们可以直接设$a_2x_2+b_2y_2=gcd(a_2,b_2)$的解为$x_2,y_2$
然后我们来思考如何根据下层解得到上层的解。
考虑取余运算的性质:显然有:$a\%b=a-(lfloor adiv b floor)*b$
然后我们把这个结论套进刚刚的式子中,用$a_1$和$b_1$替换$a_2$和$b_2$,这个过程大概是这个样子的:
$a_2x_2+b_2y_2=gcd(a_2,b_2)\=>b_1x_2+(a_1\%b_1)y_2=gcd(a_2,b_2)\=>b_1x_2+(a_1-a_1div b_1*b_1)y_2=gcd(a_2,b_2)\=>b_1x_2+a_1y_2-(a_1div b_1)b_1y_2=gcd(a_2,b_2)\=>a_1y_2+b_1(x_2-a_1div b_1*y_2)=gcd(a_2,b_2)$
经过以上非常基础的推算,我们可以得到$a_1,b_1,x_1,y_1,x_2,y_2$如下的关系:
$egin{cases}x_1=y_2\y_1=x_2-a_1div b_1*y_2end{cases}$
于是递归计算即可。
exgcd的代码实现大概长这样:
1 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1;y=0; 6 return; 7 } 8 exgcd(b,a%b,x,y); 9 int x1=x,y1=y; 10 x=y1;y=x1-a/b*y1; 11 }
三、例题分析
这道题开门见山,直接就说出了要求什么,可谓NOIP茫茫毒瘤题中一股清流
我们要求的是$ax≡1 (mod b)$,不妨设$ax+by=1$,接下来我们就可以搬出我们的exgcd的模板,轻松秒掉这道题。
值得注意的是,我们求出来的是最小解,而题目要求的是最小正整数解,因此如果不符合条件的话还要往上累加。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #define int long long 4 using namespace std; 5 int x,y,a,b; 6 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 7 { 8 if(b==0) 9 { 10 x=1;y=0; 11 return; 12 } 13 exgcd(b,a%b,x,y); 14 int x1=x,y1=y; 15 x=y1;y=x1-a/b*y1; 16 } 17 signed main() 18 { 19 cin>>a>>b; 20 exgcd(a,b,x,y); 21 while(x<0)x=(x+b)%b; 22 cout<<x<<endl; 23 return 0; 24 }
(贝祖定理内容部分来自这位大佬的博客)