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  • CF156D Clues

    考虑共有(k)个连通块,第(i)个联通块的大小为 (s_i) ,在最终生成的树的度数为 (d_i) 的方案数。

    对应到prufer序列上就是

    [{k-2choose d_1-1,d_2-1cdots d_k-1}prod {{s_i}^{d_i}}=frac{(k-2)!}{prod (d_i-1)!}prod {{s_i}^{d_i}} ]

    看到这个(d_i-1)的形式似乎不是很优美,设(f_i=d_i-1),即

    [{k-2choose e_1,e_2,cdots ,e_k}prod{s_i^{e_i+1}} ]

    这是个多项式定理的形式,多项式定理即为项数多于 (1) 的情况下

    [(x_1+x_2+cdots+x_t)^m=sum_{sum n_i=t}{{tchoose n_1,n_2,cdots,n_t}}prod x_i^{n_i} ]

    (n_i)(x_i) 这项的系数,一个比较简单的证明:从 (m) 项中选择 (n) 个数,那么组合为 ((n_1,n_2,cdots,n_t))的方案就有

    [tchoose n_1,n_2,cdots,n_t ]

    种,每种权值为 (prod x_i^{n_i})

    由于(sum s_i=n)于是原式即可化为

    [n^{k-2}prod s_i ]

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/szmssf/p/14963095.html
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