Atcoder AGC006 解题报告

(A. Prefix and Suffix)

简要题意：

给出长度为(N)的字符串(S)和(T)，求一个字符串满足：

1. 长度至少为(N)
2. 前缀为(S)
3. 后缀为(T)

请找出长度最短的这样的字符串并输出他的长度

题目解法：

数据范围很小，直接枚举判断就好了。

(B. Median Pyramid Easy)

简要题意：

给出一个(N)层的方格金字塔,自顶向下依次标号为第(1)到第(N)层。
其中第(i(1 le i le N))层有(2i − 1)个方格。
第(N)层有一个(1)到(2N-1)的排列,其他层的数字按以下规则生成：
方格(b)中填写的整数,是方格(b)正下方,左下方和右下方方格中所写整数的中位数。
现在请你构造出一组第(N)层的数字，使得求得的第一层的数字为(X)。

题目解法：

容易发现，如果某一层出现了中间的两个格子是同样的数字，那么一直到顶，都是这个数字。
那么，我们除了(1)和(2N-1)，都可以构造出来了，而这两个数显然无解。

(C. Rabbit Exercise)

简要题意：

有(N)只兔子在一个数轴上，兔子为了方便起见从(1)到(N)标号，第(i)只兔子的初始坐标为(x_i)。
兔子会以以下的方式在数轴上锻炼：
一轮包含(m)个跳跃，第(j)个是兔子(a[j](2 le a[j] le N−1，a是给出的长度为m的数组)) 跳一下，这一下从兔子(a[j]− 1)和兔子(a[j] + 1)中等概率的选一个（假设选了(x)），
那么(a[j])号兔子会跳到它当前坐标关于(x)的坐标的对称点。
（注意，即使兔子的位置顺序变化了，但是编号仍保持不变，这里按兔子编号算）兔子会进行(k)轮跳跃，对每个兔子，请你求出它最后坐标的期望值。

题目解法：

这道题，推荐洛谷Kinandra题解
由期望的性质，我们每次跳跃之后，可以看作兔子的坐标直接变成了它的期望。
之后我们差分，发现每一次跳跃，就是将那个兔子左右的两个差分数组中的元素交换。
那么一轮就是一个置换，多次可以快速幂，也可以(O(M))，但是我只会快速幂(QAQ)。

(D. Median Pyramid Hard)

简要题意：

给出一个(N)层的方格金字塔,自顶向下依次标号为第(1)到第(N)层。
其中第(i(1 le i le N))层有(2i − 1)个方格。
第(N)层有一个(1)到(2N-1)的排列,其他层的数字按以下规则生成：
方格(b)中填写的整数,是方格(b)正下方,左下方和右下方方格中所写整数的中位数。
现在给出第N层的数字，请你求第一层的数字（注意，这一行和(B)题不一样）。

题目解法：

我们可以二分答案，那么就只有(0)和(1)两种数字了。
之后在用(B)题的结论（就是那个两个一样的可以一直顶上去的结论），判断是否合法。
具体做法是，一段交错的(01010)在下一层就会变成取反的交错(10101)，那些连续的(000)或(111)只可能变长，不会被吞掉，所以很好写。

(E. Rotate 3x3)

简要题意：

我们有一个(3)行(N)列的初始矩阵，((i,j))位置的数为(i+3j-3)。
我们有一个这样的操作：选择一个(3 imes 3)的子矩阵，将这个子矩阵旋转(180°)。
现在给出一个(3)行(N)列的矩阵（矩阵中的数各不相同），问能否通过若干次上述操作将初始矩阵变为给定的矩阵。

题目解法：

显然，我们考虑将给定的矩阵变成初始矩阵。
首先，我们能够用每一列中间的数字确定这一列在初始矩阵中在第几列。
注意到，每次操作，每一列所在的列的奇偶性是不会变的。
那么我们可以先判断奇偶性，如果不合法，就不可能了。
之后我们先将操作当成冒泡排序，将每一列放到它在初始矩阵中的那一列，但此时可能上下颠倒。
之后，注意到列数不小于(5)，而且可以通过手玩发现，在这样的条件下，能够通过一系列操作，将任意距离为(1)的两列仅仅上下翻转而不影响任何其他的因素。
那么我们就从头开始，如果这一列反了，就让它和下一个同奇偶的列同时翻转，做到最后，就直接判断能不能都回原就好了。
补充：
那个冒泡显然不能直接冒泡，
我们发现，每次操作，不仅交换了两列的位置，而且这三列的状态都翻转了，
那么就是奇数（偶数）的列的翻转列数奇偶性改变，而偶数（奇数）的列的翻转列数奇偶性不变。
我们只要判断翻转列数的奇偶性就行了。
不过建议大家参考洛谷题解。

(F. Blackout)

简要题意：

有一个(N)个点的图，有(M)条边，如果存在(Edge(x,y))和(Edge(y,z))，那么(Edge(z,x))就会出现。
问最后会有多少条边。

题目解法：

咕咕咕。