堆（heap）详解

堆就是一棵完全二叉树

堆算法的简介：

堆的主要作用就是是排序，分了大根堆和小根堆，大根堆顾名思义就是任何父节点都比(large{ ext{它的}})子节点大的完全二叉树，小根堆反之。堆是为了能够很方便第找出或者更新一个一维数组的最大/小值。在一些找最大/小值的算法里就特别好用，而堆的算法的核心当然就是维护这个性质了（当然也可以使用(STL)中自带的函数，当然这个后面ge也会说）：

维护堆的操作：

[ ext{以小根堆为例} ]

1.上浮（push_up/float）

上浮指的是将任意一个节点从下向上挪并且保证小根堆性质不改变（即保证任何父节点都比(large{ ext{它的}})子节点小），过程很简单，就是(large{ ext{一步步}})地从下往上挪。注意：一定是一步步的，不能一下子从叶子节点变成根节点（不能一口吃个胖子）。既然是一步步的，交换当前的父节点和子节点即可完成！

[ ext{很简单吧，但还是证明一下不然我会怀疑} ]

那么为什么一步步挪就能满足条件呢，因为一个小根堆是肯定满足父节点比(large{ ext{它的}})子节点小，所以如果新的节点(A)需要上浮(比如 (A) 是一个新插入的叶子节点）那么当它的父节点 (B) 比它大时，将 (B) 换为叶子节点，此时 (B) 没有儿子，满足条件。然后现在 (A) 的父节点是 (C) 那么肯定有 (C<B)，（因为 (B) 之前当子节点时是满足父节点比它的子节点小的），如果此时 (A) 有另一个子节点(D)，（即原来(B)的子节点）所以(B<D)，又因(C<B)，所以(C<D)，所以此时如果是 (C) 做它们的父节点不会破坏这一部分的性质，而 $ A$ 也是如此，因为 (A<B,B<D)，所以(A<D)。那么此时就可以随意地去比较 (A,C) 了，因此只要一步步地往上爬就能保留堆的原有性质不变。（我要一步一步往上爬~）

[ ext{只要不急，随你挪啦！} ]

那么上浮就很容易搞定了，完全二叉树最好的地方就是可以直接用(int(frac{i}{2}))来表示一个点的父节点，在程序里就更方便了，自动帮你取整，所以代码就很容易实现了！

void push_up(int i)//将i点上浮 
{
     while(i>1)
	 {
	     if(heap[i]<heap[i>>1])
		 {
		 	swap(heap[i],heap[i>>1]);
		 	i>>=1; 
		 }
		 else
		 {
		 	return;
		 }
	 }
}

2.下沉（push_down/sink)

下沉一般是用来删除节点用的，比如你想要迫害一个中间的节点，你就可以让它下沉到底部，然后一刀剪掉(R.I.P)。这个比上浮还简单，因为下沉只要比较子节点中较小的一个并交换即可。

[ ext{还是证明一下：} ]

我们假设要迫害点 (A)，我们看到 (A) 有俩儿子(BC)且 (B<C)，因为此时如果用 (C) 来顶替 (A) 就会导致 (C)作为父节点应当比 (B) 小，然后我们已知(B<C)，所以我们只能选(B)，于是我们将 (A) 与 (B) 交换即可。然后设此时B有儿子 (DE) ,而我们选 (min(D,E)) 与 (A) 交换（设 (D<E)），那么因为 (B) 原本是它们的父亲，所以 (B<D)，将 (D) 换上去是毫无问题的。由此可得，只要选两个儿子中最小的那个交换即可满足咯！代码实现：

void push_down(int i)//将i点下沉 
{
	while((i<<1)<=n)
	{
		int next=(i<<1);
	    if(heap[next]>heap[next+1]&&next+1<=n)next++;
		if(heap[next]<heap[i])swap(heap[i],heap[next]);
		else break;
		i=next;
	}
}

那么基本操作就到这里咯，然后还有STL的做法值得参考，先上代码（洛谷的堆模板）：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int heap[5000005],n;
void push_up(int i)//将i点上浮 
{
     while(i>1)
	 {
	     if(heap[i]<heap[i>>1])
		 {
		 	swap(heap[i],heap[i>>1]);
		 	i>>=1; 
		 }
		 else
		 {
		 	return;
		 }
	 }
}
void push_down(int i)//将i点下沉 
{
	while((i<<1)<=n)
	{
		int next=(i<<1);
	    if(heap[next]>heap[next+1]&&next+1<=n)next++;
		if(heap[next]<heap[i])swap(heap[i],heap[next]);
		else break;
		i=next;
	}
}

void add(int i)//加值为i的点 
{
	heap[++n]=i;
	push_up(n);
}

void pop(int i)//删除处于i位置的点 
{
	swap(heap[i],heap[n--]);
	push_down(i);
}
//上面是堆操作，下面根据题目自行改变 
int main()
{
	int m;
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;++i)
    {
    	int ope,num;
    	scanf("%d",&ope);
    	switch(ope)
    	{
    		case 1:
    			scanf("%d",&num);
    			add(num);
    			break;
    		case 2:
    			printf("%d
",heap[1]);
    			break;
    		case 3:
    			if(n>0)
    			pop(1);
    			break;
    	}
    }
    return 0;
}

[large{ ext{然后我们来看一下$STL$：}} ]

(STL)中的堆人称"优先队列"（@Edmundino的最爱）:

//优先队列身份证：

I.住址（头文件）：<queue>

II.座机电话（调用）：priority_queue<int>a;（大根堆）

III.手机电话（调用）：priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > a;（小根堆）

IV.不动产（基本操作）：

  a.size():返回堆内元素个数;
  a.empty():如果堆为空，返回true，否则返回false;
  a.top():返回堆顶元素。
  a.pop():删除堆顶元素，保姆STL自动帮忙整理;
  a.push(x):插入一个元素x，同上自动整理。

注意！！！：

[ ext{结构体中比较某一变量} ]

struct node
{
    int compare,another;
    bool operator<(const node &x)const
    {
        return x.compare<compare
    }//小根堆，大根堆则将'<'改成'>'即可
};
priority_queue<node>q;

那么我们用优先队列来 (A) 一下模板（真的是......非常非常非常简单啊QAQ）：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > heap;//> >之间注意空格 
int main()
{
	int m;
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;++i)
    {
    	int ope,num;
    	scanf("%d",&ope);
    	switch(ope)
    	{
    		case 1:
    			scanf("%d",&num);
    			heap.push(num);
    			break;
    		case 2:
    			printf("%d
",heap.top());
    			break;
    		case 3:
    			if(!heap.empty())
    			heap.pop();
    			break;
    	}
    }
    return 0;
}

[ ext{诶，早知道就不手打了QAQ} ]

填坑第(huge{4})站完成！！！