题面：BZOJ3157
一句话题意：
求：
[sum_{i=1}^ni^m imes m^i (mod 1e9+7) (n leq 1e9,mleq200)
]
题解
令
[DP[i]=sum_{k=1}^n k^i*m^k
]
则
[(m-1)DP[i]=mDP[i]-DP[i]
]
[=sum_{k=1}^{n}k^im^{k+1}-sum_{k=1}^nk^im^k
]
[=sum_{k=2}^{n+1}(k-1)^im^k-sum_{k=1}^nk^im^k
]
[=n^n m^{n+1}+sum_{k=1}^nm^k*((k-1)^i-k^i)
]
由二项式反演得
[=n^im^{n+1}+sum_{k=1}^n sum_{j=1}^{i-1}(-1)^{i-j}*C_i^j k^jm^k
]
[=n^im^{n+1}+sum_{j=0}^{i-1}(-1)^{i-j}*C_i^j imes DP[j]
]
于是就可以(O(m^2log(mod)))递推了！
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Tzh{
typedef long long ll;
const int maxm=210;
const ll p=1e9+7;
ll n,m,dp[maxm],c[maxm][maxm];
ll qpow(ll a,ll b){
ll sum=1;
while(b){
if(b&1) sum=sum*a%p;
a=a*a%p; b>>=1;
}
return sum;
}
void init(){c[0][0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++){c[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%p;
}
}
void work(){
scanf("%lld%lld",&n,&m); init();
if(m==1){
printf("%lld",(n+1)*n/2%p);
return ;
}
dp[0]=(qpow(m,n+1)-m+p)%p*qpow(m-1,p-2)%p;
for(int i=1;i<=m;i++){
dp[i]=qpow(n,i)*qpow(m,n+1)%p;
for(int j=0;j<i;j++)
dp[i]=(dp[i]+p+((i-j)&1?-1:1)*c[i][j]*dp[j]%p)%p;
dp[i]=dp[i]*qpow(m-1,p-2)%p;
}
printf("%lld",dp[m]);
return ;
}
}
int main(){
Tzh::work();
return 0;
}