拓展欧几里得算法

拓展欧几里得

• 问题：求方程 (ax+by=gcd(a,b)) 中 (x,y) 的整数解

• 预备知识：根据某个数学证明，方程 (ax+by=c) 有解当且仅当 (cequiv0pmod{gcd(a,b)}) 。所以只要方程有解，就可以通过求出方程 (ax+by=gcd(a,b)) 的解，来求方程 (ax+by=c) 的解。

• 拓展欧几里得 (exgcd)：普通的欧几里得算法就是辗转相除，而拓展欧几里得就是利用了辗转相除的一些性质，提出了一种求不定方程特解的算法。

首先，对于不定方程 (ax+by=gcd(a,b))

假设存在一组解 ((x1,y1)) 满足

(bx_1+(amod b)y_1=gcd(b,amod b))

由 (gcd) 的性质可得，(gcd(a,b)=gcd(b,amod b))

所以 (ax+by=bx_1+(amod b)y_1)

(amod b) 实际上就是 (a-a/b imes b)

于是可以整理出：

(ax+by=ay_1+b(x_1-(a/b)y_1))

由于 (x1,y1) 已知，所以就找到了关于 (x,y) 的一组解：

(egin{cases}x=y_1\y=x_1-(a/b)y_1end{cases})

然后就结束了。

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然而还有一个很重要的问题，

(x_1,y_1) 怎么求？？？

再把前面的两个式子拿过来看看：

(egin{cases}ax+by=gcd(a,b)&1\bx_1+(amod b)y_1=gcd(b,amod b)&2end{cases})

想要求方程1的解，就要先知道方程2的解。

想要知道方程2的解，就要知道与之对应的一个方程3的解。

很明显的递归结构。

可以观察到，每一次方程的系数都在变小，所以递归一定有一个终点—— (b=0)，类似于求 (gcd) 的函数。

而当 (b=0) 时，(gcd(a,b)=gcd(a,0)=a)

所以只要 (x) 取1，(y) 取任意值皆可（最好取0）

所以就可以开始回溯，回溯的时候每一次都用上文所提的通解：

(egin{cases}x=y_1\y=x_1-(a/b)y_1end{cases})

然后就真的结束了。。。

例题：P1082 同余方程

代码：大致模板

/*
问题：求不定方程 ax+by==1 的整数解 
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//拓欧
    if(b==0){
        x=1;y=0;//递归尽头，b==0 的情况 
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);//改变系数，继续递归 
    int tmp=y;
    y=x-(a/b)*y;
    x=tmp;//代用 x,y x1,y1 的通解公式 
}
int gcd(int x,int y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
int main(){
    int a,b,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    if(gcd(a,b)>1){//如果两个数不互质，无解 
		puts("No solution");
		return 0;
	}
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("The solution of the problem is x=%d y=%d
",x,y);
}