树状数组

树状数组又称二叉索引树（Binary Indexed Tree，BIT），是一种解决动态连续和查询问题的数据结构。

辅助数组 C:

　　C_i = A_{i-lowbit(i)+1} + A_{i-lowbit(i)+2} + ... + A_i

其中 lowbit(x) 代表 x的二进制表达式中最右边的1所对应的的值， 那么lowbit(x) = x & -x

即C[6] 代表 A[5] 和 A[6] 的和， C[4] 代表 A[1] + A[2] + A[3] + A[4]

那么如何求前缀和 S_i 呢， 顺着结点i往左走， 边走边“往上爬”， 把沿途经过的 C_i 累加起来就可以了。

int sum(int x){
    int ret = 0;
    while(x > 0){
        ret += c[x]; x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}

那么如果修改了一个 A_i， 需要更新 C数组 中的那些元素呢？ 从 C_i 开始往右走， 边走边“往上爬”， 沿途修改结点对应的 C_i 即可。

void add(int x, int d){
    while(x <= n){
        c[x] += d; x += lowbit(x);
    }
}

两个操作的时间复杂度仅为O(logn)， 预处理的方法是先把 A 和 C 数组清空， 然后执行 n 次 add 操作， 总时间复杂度为O(nlogn)。

全部的代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn = 200;

int a[maxn], c[maxn], n;

int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

void add(int x, int d){
    while(x <= n){
        c[x] += d; x += lowbit(x);
    }
}

int sum(int x){
    int ret = 0;
    while(x > 0){
        ret += c[x]; x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%d", &a[i]);
        add(i, a[i]);
    }
    int l, r;
    scanf("%d%d", &l, r);
    printf("%d\n", sum(r)-sum(l-1));

    return 0;
}

图来自百度图片。

参考自《算法竞赛入门经典——训练指南》（刘汝佳）