摆花（NOIP2012 普及组第三题）

描述

小明的花店新开张,为了吸引顾客,他想在花店的门口摆上一排花,共m盆。通过调查顾客的喜好,小明列出了顾客最喜欢的n种花,从1到n标号。为了在门口展出更多种花,规定第i种花不能超过ai盆,摆花时同一种花放在一起,且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。试编程计算,一共有多少种不同的摆花方案。

格式

输入格式

【输入】 
输入文件共2行。第一行包含两个正整数n和m,中间用一个空格隔开。第二行有n个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,依次表示a1、a2、……an。

输出格式

【输出】 
输出只有一行,一个整数,表示有多少种方案。注意:因为方案数可能很多,请输出方案数对1000007取模的结果。

样例1

样例输入1

2 4
3 2

样例输出1

2

限制

1S

提示

【输入输出样例说明】
有2种摆花的方案,分别是(1,1,1,2),(1,1,2,2)。括号里的1和2表示两种花,比如第一个方案是前三个位置摆第一种花,第四个位置摆第二种花。

#include<iostream>

using namespace std;

int n, m , a[120] = {0}, f[120][120] = {0};
const int mod = 1000007;

int main()
{
    freopen("flower.in","r",stdin);
    freopen("flower.out","w",stdout);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 0;j <= m;j++)
        {
            for(int k = 0;k <= a[i];k++)
            {
                if(k <= j)
                {
                    f[i][j] = (f[i][j]+f[i-1][j-k])%mod;
                }
            }
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

分析

动态规划：题目要求花必须按从小到大的顺序摆放，并且同种类的花必须挨着放，则题目就简单多了。

a[i]表示第i种花最多使用的盆数
f[i][j]表示前i种花，摆j盆的摆放方案数。对于第i种花可以使用0、1、2...a[i]盆,对应的前i-1种花摆放的盆数为j-0、j-1、j-2、...j-a[i] 
即f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+...+f[i-1][j-a[i]] =f[i-1][j-k](0<=k<=a[i],j>=k)
方程写出来后，最关键的就是赋初始值

初始值f[1][0]=1,f[1][1]=1,...f[1][a[1]]=1; 
初始值f[i][0]=1;(1<=i<=n)

以题中样例为例：

2 4

3 2

很显然f[1][1]=f[1][2]=f[1][3]=1;

f[2][1]=2，前2种花，放一盆，则有1,2两种方法。

又f[2][1]=f[1][0]+f[1][1]=f[1][0]+1可以推出f[1][0]=1；

同样的方法可以推出f[2][0]=f[3][0]=...=f[n][0]=1;

(f[2][2]=f[1][0]+f[1][1]+f[1][2]，

f[2][3]=f[1][1]+f[1][2]+f[1][3]，

f[2][4]=f[1][2]+f[1][3]+f[1][2])