题目大意：
给你一个N，计算出1-N内所有的勾股数，要求a和b和c互质，同时计算p，p表示1-N中不能构成勾股数的数字的个数，其中没有互质的也算，比如6,8,10也算算，如果N是10，那么p就是4。
由于给的N的范围是1000000以内，所以用普通的枚举的方法肯定会TLE的，所以需要进行优化。
首先考虑平方数的性质，对于一个奇数(2n+1)，(2n+1)2 = 4(n2 + n) + 1，所以 (2n+1)2 = 1 (mod 4).
对于一个偶数(2n)，(2n)2 = 4n2，所以(2n)2 = 0 (mod 4)。
所以如果一个数要是平方数，那么这个数肯定mod 4余一或者余零。
首先，x，y互质，所以x和y中至少有一个奇数。考虑上面说过的平方数的性质，x和y中只有一个是奇数。证明如下：
先假设x和y都为奇数，那么x = 2m + 1, y = 2n + 1,所以 x2 + y2 = (2m+1)2 + (2n+1)2 = 4(m2 + n2 + m + n) + 2 = 2 (mod 4)，所以明显不是平方数。所以x和y中只能有一个奇数。
又z和x，y都互质，且x，y中有一个偶数，那么z必定也是奇数。
欧几里得法则：x = sqrt(mn), y = (m - n)/2, z = (m + n)/2.(其中m、n同奇或者同偶，并且mn是完全平方数)
证明：x2 = mn , y2 = (m2 + 2mn + n2)/4, z2 = (m2 + 2mn + n2)/4, 易得x2 + y2 = z2,，且按照对m和n的限制，x，y和z均为整数。
丢番图法则： x = m + sqrt(2mn), y = n + sqrt(2mn), z = m + n + sqrt(2mn).(其中2mn为完全平方数)
证明：x2 = m2 + 2mn + 2m * sqrt(2mn), y2 = n2 + 2mn + 2n * sqrt(2mn), z2 = m2 + n2 + 4mn + 2(m + n) * sqrt(2mn). 易知 x2 + y2 = z2，且按照对m和n的限制，x，y和z均为整数。
毕达哥拉斯法则： x = 2n + 1, y = 2n2 + 2n, z = 2n2 + 2n + 1.(n >= 1)即在一组勾股数中，当最小边为奇数的时候，它的平方正好等于另外两个连续的正整数之和。
证明：x2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = (2n2 + 2n) + (2n2 + 2n + 1)，易知 (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2
柏拉图法则：x = 2n, y = n2 - 1, z = n2 + 1.(n>=2)。即在一组勾股数中，当最小边为偶数的时候，它的平方和刚刚好等于两个连续整数之和的两倍。
证明：(x2)/2 = 2n2 = (n2 - 1) + (n2 + 1), 易知 (2n)2 + (n2 - 1)2 = (n2 + 1)2;
勾股数法则：x = m2 - n2, y = 2mn, z = m2 + n2.(m > n)
证明：x2 = m4 - 2m2 * n2 + n4, y2 = 4m2 * n2, z2 =m4 + 2m2 * n2 + n4，易得 x2 + y2 = z2.
顺便提一下勾股数通解公式。取定 x (x >= 3)的值后，如果k能使 y = (x2 - k2)/2k为整数，z = y + k，则x，y，z必是勾股数。
这里，使上式中的(x2 - k2) / 2k的值恒为整数的k值条件是：
若 x ≥3 且为奇数，在 x2 标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于x的因数积为k。如x=15, 152 = 1 * 32 * 52, k = 1, 3, 5, 32.
若 x ≥4 且为偶数，在 x2 标准分解因数（包括1）中去掉一个2后为有效因数，在有效因数全排列重组乘积中，取小于x的偶数因数积为k。 如x=10, 102 = 1 * 22 * 52, k = 2.
勾股数再生公式。a2 + b2 = c2,那么 x = 2(a + c) + b, y = 2(b + c) + a, z = 2(a + b) + 3c, 那么x2 + y2 = z2.
上面的各种法则中，明显是勾股数法则最合适，而且还可以将N从10^6降到10^3，这样想怎样暴力都没问题了。不过勾股数法则并不能表示所有的勾股数对，例如9， 12， 15 就没办法找出对应的 m 和 n，但是幸好这个特例是不是互质的，那我们是不是可以勾股数法则可以求出所有的质勾股数，勾股数法会遗漏掉的是m，n为分数的情况和m，n为无理数的情况，接下来分别讨论这两种情况。
①假设m，n是分数，分别取m/a和n/b (a,b,m,n均为整数, m/a和n/b都是最简分数,且m/a > n/b)，所以x = (m/a)2 - (n/b)2, y = 2mn/ab,z =(m/a)2 + (n/b)2,所以 x + y = 2(m/a)2，因为x和y都是整数，又a2 != 2,所以2(m/a)2显然不是整数，所以矛盾了，该假设不成立。
②假设m和n是无理数。分别取m * sqrt(a), n * sqrt(b) （ a,b,m,n均为整数, a和b均无法提取出整数 ,且m * sqrt(a) > n * sqrt(b) ）。x = m2 * a - n2 * b, y = 2mnab, z = m2 * a + n2 * b, 因为y是整数，所以a = b,不然y就不是有理数了。所以x = a * (m2 - n2）, y = a * 2mna, z = a * (m2 + n2).显然x，y，z不是互质的。
综上所述，勾股数法则可以求出所有的质勾股数。同时，当我们将质勾股数乘以k倍的时候，可以得到当m和n是无理数的时候遗漏所有勾股数。
做到这里程序基本就可以过了，但关于m和n的取值还可以进一步优化。当m和n奇偶性相同的时候，所以可以不用考虑。
令gcd(m,n) = d，当d ！= 1时，x = m2 - n2可以整除d2, y = 2mn可以整除d2,所以gcd(x,y) = d2，所以也可以不用考虑。
接下来是代码
#include<cstring> #include<iostream> using namespace std; const int MAXN = 1000 + 5; int cnt; int N, p; int a, b, c; int vis[MAXN * MAXN]; int gcd(int x, int y) { return y == 0 ? x : gcd(y, x % y); } int main() { cin.sync_with_stdio(false); while(cin >> N) { cnt = p = 0; memset(vis, 0, sizeof(vis)); for(int n = 1; n * n <= N; ++ n) for(int m = n + 1; (c = n * n + m * m) && c <= N; ++ m) //m和n同奇偶，那么a，b，c都会是偶数 if((m & 1) + (n & 1) == 1 && gcd(m, n) == 1) { ++cnt; b = (m * n) << 1; a = m * m - n * n; for(int k = 1; c * k <= N; ++k) vis[k * a] = vis[k * b] = vis[k * c] = 1; } for(int i = 1; i <= N; ++ i) if(vis[i] == 0) ++p; cout << cnt << ' ' << p << endl; } return 0; }