机器学习（2）之回归算法

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目录

• 什么是回归算法
• 线性回归
  • 似然函数/对数似然函数
  • 目标函数/损失函数
    • 常用的其他损失函数
    • 局部加权回归-损失函数
  • 线性回归的过拟合
  • Ridge回归(岭回归)
  • LASSO回归
  • Elasitc Net算法(弹性网络算法)
• 梯度下降算法
  • 批量梯度下降算法(BGD)
  • 随机梯度下降算法(SGD)
  • 小批量梯度下降法(MBGD)
  • 梯度下降法调优策略
• Logistic回归
• Softmax回归
• 模型效果判断
• 机器学习调参

什么是回归算法

• 有监督算法
• 解释变量（x）与观测值（因变量y）之间的关系
• 最终结果是一个连续的数据值，输入值(属性值)是一个d维度的属性/数值向量

线性回归

• 最终要求是计算出 θ 的值，并选择最优的 θ值构成算法公式

• 可以写为
  

其中ε⁽ⁱ⁾是误差，独立同分布的，服从均值为0，方差为某定值δ²的高斯分布。

似然函数/对数似然函数

• 似然函数
  （释然函数的概念可以参考：https://segmentfault.com/a/1190000014373677?utm_source=channel-hottest）
  

  注：似然函数里面用的是正态分布，实际问题中，很多随机现象可以看做众多因素的独立影响的综合反应，往往服从正态分布。

• 对数似然函数

目标函数/损失函数

• 损失函数是实际值与预测值之间的关系，通过求损失函数的最小值，来确定求解的θ的值，下面式子对数似然函数得：

• 通过对损失函数求导并令其等于0（最小二乘法），可以得到：

注：X为样本x⁽ⁱ⁾的矩阵,Y为y⁽ⁱ⁾的矩阵，要求矩阵X^TX是可逆的。

常用的其他损失函数

局部加权回归-损失函数

• w(i)是权重，它根据要预测的点与数据集中的点的距离来为数据集中的点赋权值。当某点离要预测的点越远，其权重越小，否则越大。常用值选择公式为：
  

该函数称为指数衰减函数，其中k为波长参数，它控制了权值随距离下降的速率。
注意：使用该方式主要应用到样本之间的相似性考虑。

线性回归的过拟合

• 为了防止数据过拟合，也就是的θ值在样本空间中不能过大/过小，可以在目标函数之上增加一个平方和损失：
  

其中λ(sum_{i=1}^{n})θ2j为正则项(norm),这里这个正则项叫做L2-norm

Ridge回归(岭回归)

• 使用L2正则的线性回归模型就称为Ridge回归(岭回归)
  

Ridge模型具有较高的准确性、鲁棒性以及稳定性。

LASSO回归

• 使用L1正则的线性回归模型就称为LASSO回归(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)
  

LASSO模型具有较高的求速度，容易出现稀疏解，即解为0的情况。

Elasitc Net算法(弹性网络算法)

• 同时使用L1正则和L2正则的线性回归模型就称为Elasitc Net算法(弹性网络算法)
  
  既要考虑稳定性也考虑求解的速度，就使用Elasitc Net。

梯度下降算法

• 目标函数θ求解：
  
• 初始化θ(随机初始化，可以初始为0)
• 沿着负梯度方向迭代，更新后的θ使J(θ)更小
  
  α：学习率、步长

批量梯度下降算法(BGD)

• 当样本量为m的时候，每次迭代BGD算法中对于参数值更新一次。
• BGD一定能够得到一个局部最优解(在线性回归模型中一定是得到一个全局最优解)。
• 计算速度比较慢。
  

随机梯度下降算法(SGD)

• 当样本量为m的时候，SGD算法中对于参数值更新m次。SGD算法的结果并不是完全收敛的，而是在收敛结果处波动的。
• SGD在某些情况下(全局存在多个相对最优解/J(θ)不是一个二次)，SGD有可能跳出某些小的局部最优解，所以不会比BGD坏。
• SGD由于随机性的存在可能导致最终结果比BGD的差。
• SGD算法特别适合样本数据量大的情况以及在线机器学习(Online ML)。
• 注意：优先选择SGD
  

小批量梯度下降法(MBGD)

• 保证算法的训练过程比较快，又保证最终参数训练的准确率。MBGD中不是每拿一个样本就更新一次梯度，而且拿b个样本(b一般为10)的平均梯度作为更新方向。

梯度下降法调优策略

• 学习率的选择：学习率过大，表示每次迭代更新的时候变化比较大，有可能会跳过最优解；学习率过小，表示每次迭代更新的时候变化比较小，就会导致迭代速度过慢，很长时间都不能结束。
• 算法初始参数值的选择：初始值不同，最终获得的最小值也有可能不同，因为梯度下降法求解的是局部最优解，所以一般情况下，选择多次不同初始值运行算法，并最终返回损失函数最小情况下的结果值。
• 标准化：由于样本不同特征的取值范围不同，可能会导致在各个不同参数上迭代速度不同，为了减少特征取值的影响，可以将特征进行标准化操作。

Logistic回归

• 主要是进行二分类预测，也即是对于0~1之间的概率值，当概率大于0.5预测为1，小于0.5预测为0。
• Logistic/sigmoid函数：
  
  
• 假设：
  
• 得似然函数：
  
• 回归参数θ（类似梯度下降方法求得）：
  
• Logistic回归损失函数（由对数似然函数得来）：
  

Softmax回归

• softmax回归是logistic回归的一般化，适用于K分类的问题，第k类的参数为向量θ_k，组成的二维矩阵为θ_k*n 。
• softmax函数的本质就是将一个K维的任意实数向量压缩（映射）成另一个K维的实数向量，其中向量中的每个元素取值都介于（0，1）之间。
• softmax回归概率函数为：
  
• 算法原理
  
• 损失函数
  
• 回归参数θ（类似梯度下降方法求得）：
  

模型效果判断

• MSE：误差平方和，越趋近于0表示模型越拟合训练数据。
• RMSE：MSE的平方根，作用同MSE。
• R2：取值范围(负无穷,1]，值越大表示模型越拟合训练数据；最优解是1；当模型预测为随机值的时候，有可能为负；若预测值恒为样本期望，R2为0。
• TSS：总平方和TSS(Total Sum of Squares)，表示样本之间的差异情况，是伪方差的m倍。
• RSS：残差平方和RSS（Residual Sum of Squares），表示预测值和样本值之间的差异情况，是MSE的m倍。

机器学习调参

• 在实际工作中，对于各种算法模型(线性回归)来讲，我们需要获取θ、λ、p的值；θ的求解其实就是算法模型的求解，一般不需要开发人员参与(算法已经实现)，主要需要求解的是λ和p的值，这个过程就叫做调参(超参)
• 交叉验证：将训练数据分为多份，其中一份进行数据验证并获取最优的超参：λ和p；比如：十折交叉验证、五折交叉验证(scikit-learn中默认)、留一交叉验证等。