算法15---数论7---一些细节题

算法15---数论7---一些细节题

1 整除，求余数

算法导论：31.1-12 试写出计算β位整除除以短整数的高效算法，以及计算β位整数除以短整数的余数的高效算法。所给出的算法运行时间应为θ(β^2).

 

//位运算的乘法与除法
#include <stdio.h>



//位运算的乘法
int bit_Multiplication(int a,int b)
{
     int ans=0;
     for (int i=1;i;i<<=1,a<<=1)
     {
         if (b&i)
         {
             ans+=a;
         }
     }
     return ans;
}
//位运算的除法
int bit_Division1(int x,int y)
{
    int ans=0;
    for (int i=31;i>=0;i--)
    {
        if ((x>>i)>=y)
        {
            ans+=(1<<i);
            x-=(y<<i);
        }
    }
    return ans;
}
//计算整数的二进制位数
int bit_num(int d)
{
   int i=0;
   while (d)
   {
       d>>=1;
       i++;
   }
   return i;
}
//位运算的除法 计算商
int bit_Division2_quotient(int x,int y)
{
    int c2=bit_num(x),c1=bit_num(y),quotient=0;
    for (int i=c2-c1;i>=0;i--)//i=c2-c1防止除数y移位后超过无符号整数最大值 时间复杂度O(c2-c1)
    {
        unsigned int a=(y<<i);//有了i=c2-c1保证了y<<i不会溢出 a有c1+c2-c1=c2位
        if (a<=x)
        {
            quotient+=(1<<i);
            x-=a;
        }
    }
    //总的时间复杂度为 O(c2)=O(x的二进制位数)=O(b^2) b为除数的十进制位数
    return quotient;
}
//位运算的除法 计算余数 与计算商一样，只是返回值不同
int bit_Division2_Remainder(int x,int y)
{
    int c2=bit_num(x),c1=bit_num(y),quotient=0;
    for (int i=c2-c1;i>=0;i--)//i=c2-c1防止除数y移位后超过无符号整数最大值 时间复杂度O(c2-c1)
    {
        unsigned int a=(y<<i);//有了i=c2-c1保证了y<<i不会溢出 a有c1+c2-c1=c2位
        if (a<=x)
        {
            quotient+=(1<<i);
            x-=a;
        }
    }
    //总的时间复杂度为 O(c2)=O(x的二进制位数)=O(b^2) b为除数的十进制位数
    return x;
}


int  main()
{
    printf("%d
", bit_Multiplication(350,43));
    printf("%d
", bit_Division1(350,43));
    printf("divide:%d
", bit_Division2_quotient(350,43));
    printf("remainder :%d
", bit_Division2_Remainder(350,43));

    return 0;
}

2 二进制转10进制

     31.1-13 写出一个高效算法，用于将β位二进制整数转化为响应的十进制表示。证明：如果长度至多为β的整数的乘法或除法运算所需时间为M(β)，则执行二进制到十进制转换所需时间为θ(M(β)lgβ)。(提示：应用分治法，分别使用独立的递归计算结果的前段和后段)。

 

/*
    题目：最大公约数
    author taoliu——alex  2016.10   number5

    主要实现：
    2-10,递归实现

*/



#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define BIT 6//二进制整数的位数，可根据所要输入的二进制位数设置BIT。

//方法1，直接二进制转10进制；

int Bit_merge(int a[],int p,int r)
{
    int ans=0;

    for (int i=p;i<=r;i++)
    {
        ans+=a[i]<<i;       
    }
    return ans;
}


//方法2
int merge(int a[],int p)
{
    int ans=0;
    ans+=a[p]<<p;
    return ans;
}

int bit_Multiplication(int a[],int p,int r)//x为二进制数
{
    int q;
    int sum;
    if (p==r)
    {
        sum+=merge(a,r);
    }
    if (p<r)
    {
       q=(p+r)/2;
       bit_Multiplication(a,p,q);
       bit_Multiplication(a,q+1,r);
    }
    return sum;
}

int  main()
{
    int a[BIT]={1,0,1,1,1,0};
    printf("
");
    printf("%d
",bit_Multiplication(a,0,BIT-1) );
    return 0;
}

3 欧几里得算法算法的扩展形式

 

可以利用欧几里得算法计算出满足下列条件的整系数x和y；

d = gcd(a,b)=ax+by;

 

算法伪代码

extended_euclid(a,b)

if b==0

     return(a,1,0)

else

     (d',x',y')=extended_euclid(b,a mod b)

     (d,x,y)=(d',y'x'-a/b*y')

return (d,x,y)

 

/*
    题目：欧几里得算法扩展
    author taoliu——alex  2016.10   number5

    主要实现：

*/

#include <stdio.h>

struct a
{
    int d;
    int x;
    int y;
}s;

struct a extended_eucild(int a,int b)
{
    if(b==0)
    {
        s.d=a;
        s.x=1;
        s.y=0;
        return s;
    }
    else
    {
        struct a ss=extended_eucild(b,a%b);
        s.d=ss.d;
        s.x=ss.y;
        s.y=ss.x-(a/b)*ss.y;
        return s;
    }
}

int main()
{
  struct a s=extended_eucild(899,493);
  printf("%d,%d,%d
",s.d,s.x,s.y );

  return 0;
}